2.2 Équations différentielles linéaires du premier ordre

Une équation différentielle du premier ordre est dite linéaire si elle peut être écrite sous la forme

 . (2.2.1)

Une équation différentielle du premier ordre qui ne peut pas être exprimée sous cette forme est dite non linéaire. Si , l’équation est dite homogène. En revanche, si n’est pas égal à zéro, l’équation est non homogène. Les équations homogènes ont toujours la solution triviale . Les solutions qui ne sont pas nulles sont des solutions non triviales.

Certaines équations peuvent ne pas paraître linéaires d’emblée, par exemple , mais elles peuvent être réarrangées pour prendre une forme linéaire :

.

Théorème :  Si  et dans l’équation 2.2.1 sont continus sur un intervalle ouvert (a,b), alors il existe une formule unique qui est la solution générale à l’équation différentielle.

Dans cet ouvrage, nous ne mentionnerons pas toujours explicitement l’intervalle lorsque nous chercherons la solution générale d’une équation linéaire du premier ordre spécifique. Par défaut, cela implique que nous recherchons la solution générale sur chaque intervalle ouvert où les fonctions et dans l’équation sont continues.

Pour résoudre l’équation 2.2.1, il faut d’abord supposer que la solution peut être exprimée sous la forme  , où est une solution connue à l’équation homogène correspondante (dite équation complémentaire) et est une fonction inconnue que nous cherchons à déterminer. Cette approche fait partie d’une technique appelée variation des paramètres, qui est particulièrement utile pour trouver des solutions à des équations différentielles non homogènes. Nous étudierons cette technique plus en détail dans le contexte des équations différentielles du second ordre. En substituant la solution devinée à l’équation, on obtient

En simplifiant et en réarrangeant, on obtient

Comme est une solution de l’équation complémentaire, , en simplifiant l’expression à la forme . L’intégration des deux côtés nous permet de déterminer , ce qui donne pour l’équation 2.2.1 la solution

 ​

Le terme est le facteur intégrant, représenté par , de sorte que la solution est souvent reformulée comme suit

Tâchons ensuite de trouver , la solution de l’équation homogène complémentaire

En réarrangeant cette équation sous une forme séparable et en intégrant les deux côtés, on obtient

ce qui donne . Par conséquent, , le facteur intégrant, est la réciproque de  , ce qui donne . 

Maintenant que nous comprenons la dérivation de la solution, décrivons le processus de solution dans les étapes suivantes.

Parfois, la fonction  peut ne pas être directement intégrée. En ce cas, il faut conserver la fonction dans sa forme intégrale, plutôt que d’essayer de trouver une solution explicite.