1
Định nghĩa
Tính độc lập
Không gian con, không gian sinh, tập hợp affine
Cơ sở, chiều
1.1. Định nghĩa
Véc-tơ
Giả sử chúng ta có một tập hợp [latex]n[/latex] số thực, [latex]x_1, \cdots, x_n[/latex]. Chúng ta có thể biểu diễn chúng như [latex]n[/latex] vị trí trên một đường thẳng. Hoặc, chúng ta có thể biểu diễn tập hợp này như một điểm duy nhất trong không gian [latex]n[/latex] chiều. Đây là biểu diễn véc-tơ của tập hợp các số; mỗi số [latex]x_i[/latex] được gọi là một thành phần hoặc phần tử của véc-tơ.
Các véc-tơ có thể được sắp xếp thành cột hoặc hàng; chúng ta thường viết véc-tơ ở dạng cột:
[latex]\begin{align*} x = \begin{pmatrix} x_{1} \ x_{2} \ \vdots \ x_{n} \end{pmatrix} \end{align*}[/latex]
Ký hiệu [latex]\mathbb{R}^n[/latex] biểu thị tập hợp các véc-tơ thực có [latex]n[/latex] thành phần. Nếu [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex] biểu thị một véc-tơ, chúng ta sử dụng chỉ số dưới để biểu thị các thành phần, do đó [latex]x_i[/latex] là thành phần thứ [latex]i[/latex] của [latex]x[/latex]. Đôi khi ký hiệu [latex]x(i)[/latex] được sử dụng để biểu thị thành phần thứ [latex]i[/latex].
Một véc-tơ cũng có thể biểu diễn một điểm trong không gian đa chiều [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], trong đó mỗi thành phần tương ứng với một tọa độ của điểm đó.
Ví dụ 1: Véc-tơ [latex]x=(2,1)[/latex] trong [latex]x \in \mathbb{R}^2[/latex].
Xem thêm:
Nhiệt độ tại các sân bay khác nhau.
Biểu diễn “túi từ” của văn bản.
Chuyển vị
Nếu [latex]x[/latex] là một véc-tơ cột, [latex]x^T[/latex] biểu thị véc-tơ hàng tương ứng, và ngược lại. Do đó, nếu [latex]x[/latex] là véc-tơ cột ở trên:
[latex]\begin{align*} x^T = (x_1 \cdots x_n) \end{align*}[/latex]
Đôi khi chúng ta sử dụng ký hiệu lỏng lẻo hơn, dạng nội dòng [latex]x = (x_1, \cdots, x_n)[/latex], để biểu thị một véc-tơ hàng hoặc cột, hướng được hiểu từ ngữ cảnh.
1.2. Tính độc lập
Một tập hợp các véc-tơ [latex]{x_1, x_2, \cdots, x_m}[/latex] trong [latex]\mathbb{R}^n[/latex] được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu điều kiện sau đây về một véc-tơ [latex]\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m) \in \mathbb{R}^m[/latex] được thỏa mãn:
[latex]\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i = 0 \end{align*}[/latex]
kéo theo [latex]\lambda_i = 0[/latex] với [latex]i = 1, 2, \cdots, m[/latex]. Điều này có nghĩa là không có véc-tơ nào trong tập hợp có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các véc-tơ khác.
Ví dụ 2: Các véc-tơ [latex]x_1 = [1, 2, 3][/latex] và [latex]x_2 = [3, 6, 9][/latex] không độc lập tuyến tính, vì [latex]3x_1 - x_2 = 0[/latex].
1.3. Không gian con, không gian sinh, tập hợp affine
Một không gian con của [latex]\mathbb{R}^n[/latex] là một tập con đóng đối với phép cộng và phép nhân với một số vô hướng. Về mặt hình học, các không gian con là “phẳng” (như một đường thẳng hoặc mặt phẳng trong 3D) và đi qua gốc tọa độ.
Một kết quả quan trọng của đại số tuyến tính, mà chúng ta sẽ chứng minh sau, nói rằng một không gian con [latex]{\bf S}[/latex] luôn có thể được biểu diễn như không gian sinh của một tập hợp các véc-tơ [latex]x_i \in \mathbb{R}^n[/latex], [latex]i = 1, \cdots, m[/latex], tức là, như một tập hợp có dạng
[latex]\begin{align*} {\bf S} = {\bf span}(x_1, \cdots, x_m):= \left{\sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i: \lambda \in \mathbb{R}^m\right} \end{align*}[/latex]
Một tập hợp affine là một phép tịnh tiến của một không gian con — nó là “phẳng” nhưng không nhất thiết phải đi qua [latex]0[/latex], như một không gian con. (Hãy nghĩ ví dụ về một đường thẳng hoặc một mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ.) Vì vậy, một tập hợp affine [latex]{\bf A}[/latex] luôn có thể được biểu diễn như phép tịnh tiến của không gian con được sinh bởi một số véc-tơ:
[latex]\begin{align*} {\bf A} = \left{x_0 + \sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i: \lambda \in \mathbb{R}^m\right}, \end{align*}[/latex] với một số véc-tơ [latex]{x_0, x_1, x_2, \cdots, x_m}[/latex] trong đó [latex]x_0 \in \mathbb{R}^n[/latex]. Viết ngắn gọn, chúng ta viết [latex]{\bf A} = x_0 + {\bf S}.[/latex]
Ví dụ 3: Trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex], không gian sinh [latex]{\bf S}[/latex] của hai véc-tơ
[latex]\begin{align*} u &= \begin{bmatrix} -1 \ 2 \ 0.5 \end{bmatrix}, \quad v = \begin{bmatrix} 1 \ 3 \ 0.1 \end{bmatrix} \end{align*}[/latex]
là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ được vẽ bằng màu xanh lam.
Khi [latex]{\bf S}[/latex] là không gian sinh của một véc-tơ khác không duy nhất, tập hợp [latex]{\bf A}[/latex] được gọi là một đường thẳng đi qua điểm [latex]x_0[/latex]. Do đó, các đường thẳng có dạng
[latex]\begin{align*}{x_0 + tu : t\in \mathbb{R}}\end{align*}[/latex]
trong đó [latex]u[/latex] xác định hướng của đường thẳng, và [latex]x_0[/latex] là một điểm mà nó đi qua.
Ví dụ 4: Một đường thẳng trong [latex]\mathbb{R}^2[/latex] đi qua điểm [latex]x_0 = (0,1)[/latex], với hướng [latex]u=(0.8944, 0.4472)[/latex].
1.4. Cơ sở, chiều
Cơ sở
Một cơ sở của [latex]\mathbb{R}^n[/latex] là một tập hợp gồm [latex]n[/latex] véc-tơ độc lập. Nếu các véc-tơ [latex]u_1, \cdots, u_n[/latex] tạo thành một cơ sở, chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ véc-tơ nào như một tổ hợp tuyến tính của các [latex]u_i[/latex]:
[latex]\begin{align*} x = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i u_i \end{align*}[/latex]
với các số [latex]\lambda_1, \cdots, \lambda_n[/latex] thích hợp.
Cơ sở chuẩn (hay còn gọi là cơ sở tự nhiên) trong [latex]\mathbb{R}^n[/latex] bao gồm các véc-tơ [latex]e_i[/latex], trong đó các thành phần của [latex]e_i[/latex] đều bằng không, ngoại trừ thành phần thứ [latex]i[/latex], bằng 1. Trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex], chúng ta có
[latex]\begin{align*} e_1 &:= \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, & e_2 &:= \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, & e_3 &:= \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \end{align*}[/latex]
Ví dụ 5: Tập hợp ba véc-tơ trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex]:
[latex]\begin{align*} x_1 &:= \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}, & x_2 &:= \begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{pmatrix}, & x_3 &:= \begin{pmatrix} 3 \ 3 \ 3 \end{pmatrix} \end{align*}[/latex]
không độc lập, vì [latex]x_1-x_2+x_3=0[/latex], và không gian sinh của nó có chiều bằng 2. Vì [latex]x_1, x_2[/latex] độc lập (phương trình [latex]\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = 0[/latex] có [latex]\lambda = 0[/latex] là nghiệm duy nhất), một cơ sở cho không gian sinh đó là, ví dụ, [latex]{ x_1, x_2 }[/latex]. Ngược lại, tập hợp [latex]{ x_1, x_2, x_3 - e_1 }[/latex] sinh ra toàn bộ không gian [latex]\mathbb{R}^3[/latex], và do đó tạo thành một cơ sở của không gian đó.
Cơ sở của một không gian con
Cơ sở của một không gian con [latex]{\bf S} \in \mathbb{R}^n[/latex] cho trước là bất kỳ tập hợp độc lập các véc-tơ nào mà không gian sinh của chúng là [latex]{\bf S}[/latex]. Nếu các véc-tơ [latex]u_1, \cdots, u_r[/latex] tạo thành một cơ sở của [latex]{\bf S}[/latex], chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ véc-tơ nào như một tổ hợp tuyến tính của các [latex]u_i[/latex]:
[latex]\begin{align*} x = \sum\limits_{i=1}^{r} \lambda_i u_i \end{align*}[/latex]
với các số [latex]\lambda_1, \cdots, \lambda_r[/latex] thích hợp.
Số lượng véc-tơ trong cơ sở thực sự không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở (ví dụ, trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex] bạn cần hai véc-tơ độc lập để mô tả một mặt phẳng chứa gốc tọa độ). Số này được gọi là chiều của [latex]{\bf S}[/latex]. Chúng ta có thể định nghĩa tương ứng chiều của một không gian con affine, là chiều của không gian con tuyến tính mà nó là một phép tịnh tiến.
Ví dụ:
Chiều của một đường thẳng là 1 vì một đường thẳng có dạng [latex]x_0 + {\bf span}(x_1)[/latex] với một số véc-tơ [latex]x_1[/latex] khác không.
Chiều của một không gian con affine.