Định lý phổ
|
Ta có thể phân tích một ma trận đối xứng bất kỳ [latex]A \in {\bf S}^n[/latex] bằng phép phân tích giá trị riêng đối xứng (SED – Symmetric Eigenvalue Decomposition) [latex]\begin{align*} A &= \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i u_i u_i^T = U\Lambda U^T, \quad \Lambda = \textbf{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n). \\ \end{align*}[/latex] trong đó ma trận [latex]U:=[u_1, \cdots, u_n][/latex] là ma trận trực giao (tức là, [latex]U^TU=UU^T=I_n[/latex]), và chứa các véctơ riêng của [latex]A[/latex], trong khi ma trận đường chéo [latex]\Lambda[/latex] chứa các giá trị riêng của [latex]A[/latex]. |
Chứng minh: Chứng minh bằng quy nạp theo kích thước [latex]n[/latex] của ma trận [latex]A[/latex]. Kết quả là tầm thường đối với [latex]n=1[/latex]. Bây giờ cho [latex]n>1[/latex] và giả sử kết quả đúng với mọi ma trận có kích thước [latex]n-1[/latex].
Xét hàm của [latex]A[/latex], [latex]t\rightarrow p(t) = \det (tI-A)[/latex]. Từ các tính chất cơ bản của định thức, đây là một đa thức bậc [latex]n[/latex], được gọi là đa thức đặc trưng của [latex]A[/latex]. Theo định lý cơ bản của đại số, mọi đa thức bậc [latex]n[/latex] đều có [latex]n[/latex] nghiệm phức (kể cả nghiệm bội); chúng được gọi là các giá trị riêng của [latex]A[/latex]. Ta ký hiệu các giá trị riêng này là [latex]\lambda_1, \cdots, \lambda_n[/latex].
Nếu [latex]\lambda[/latex] là một giá trị riêng của [latex]A[/latex], tức là nếu [latex]\det (\lambda I-A)=0[/latex], thì [latex]\lambda I- A[/latex] không khả nghịch (xem tại đây). Điều này có nghĩa là tồn tại một véctơ thực khác không [latex]u[/latex] sao cho [latex]Au = \lambda u[/latex]. Ta luôn có thể chuẩn hóa [latex]u[/latex] sao cho [latex]u^Tu=1[/latex]. Do đó, [latex]\lambda = u^TAu[/latex] là số thực. Tức là, các giá trị riêng của một ma trận đối xứng luôn là số thực.
Bây giờ xét giá trị riêng [latex]\lambda_1[/latex] và một véctơ riêng tương ứng [latex]u_1[/latex]. Sử dụng trực giao hóa Gram-Schmidt, ta có thể tính được một ma trận [latex]V_1[/latex] kích thước [latex]n \times (n-1)[/latex] sao cho [latex][u_1, V_1][/latex] là trực giao. Theo giả thiết quy nạp, ta có thể viết ma trận đối xứng [latex](n-1) \times (n-1)[/latex] [latex]V_1^T A V_1[/latex] dưới dạng [latex]Q_1 \Lambda_1 Q_1^T[/latex], trong đó [latex]Q_1[/latex] là một ma trận trực giao [latex](n-1) \times (n-1)[/latex] chứa các véctơ riêng của [latex]V_1^T A V_1[/latex], và [latex]\Lambda_1 = {\bf diag}(\lambda_2, \cdots, \lambda_n)[/latex] chứa [latex]n-1[/latex] giá trị riêng của nó. Cuối cùng, ta định nghĩa ma trận [latex]n \times (n-1)[/latex] [latex]U_1:= V_1 Q_1[/latex]. Theo cách xây dựng, ma trận [latex]U:= [u_1, U_1][/latex] là ma trận trực giao.
Ta có
[latex]\begin{align*} U^T A U &= \begin{pmatrix} u_1^T \\ U_1^T \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} u_1 & U_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1^T A u_1 & u_1^T A U_1 \\ U_1^T A u_1 & U_1^T A U_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \Lambda_1 \end{pmatrix}, \end{align*}[/latex]
trong đó ta đã tận dụng việc [latex]U_1^T A u_1 = \lambda_1 U_1^T u_1 = 0[/latex], và [latex]U_1^T A U_1 =\Lambda_1[/latex].
Ta đã chỉ ra được một ma trận trực giao [latex]n \times n[/latex] [latex]U[/latex] sao cho [latex]U^TAU[/latex] là ma trận đường chéo. Điều này chứng minh định lý.
