2
2.1. Tích vô hướng
Định nghĩa
Tích vô hướng (còn gọi là tích trong, hoặc tích chấm) giữa hai vector [latex]x,y \in \mathbb{R}^n[/latex] là một số vô hướng được ký hiệu là [latex]x^Ty[/latex], và được định nghĩa là
[latex]\begin{align*} x^T y = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i y_i \end{align*}[/latex]
Tích vô hướng đôi khi cũng được ký hiệu là [latex]\langle x,y \rangle[/latex], một ký hiệu bắt nguồn từ vật lý.
Xem thêm:
- Rate of return of a financial portfolio.
- Sample and weighted average.
- Beer-Lambert law in absorption spectroscopy.
Trực giao hoá
Hai véctơ [latex]x,y \in \mathbb{R}^n[/latex] được gọi là trực giao nếu [latex]x^Ty=0[/latex].
| Ví dụ 1: Hai véctơ trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex]: |
| [latex]\begin{align*} x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad y = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align*}[/latex] |
| trực giao do |
| [latex]\begin{align*} x^T y= \underbrace{1 \times 4}_{x_1 \times y_1} + \underbrace{1 \times(-1)}_{x_2 \times y_2} + \underbrace{(-1) \times 3}_{x_3 \times y_3} = 0 . \end{align*}[/latex] |
2.2. Chuẩn
Định nghĩa
Chuẩn là một hàm thực thỏa mãn các quy tắc cơ bản về khoảng cách. Bạn có thể tham khảo định nghĩa chính thức của chuẩn ở đây.. Chuẩn của một véctơ [latex]v[/latex] thường được ký hiệu là [latex]||v||[/latex].
2.3. Ba chuẩn thông dụng
Trong nội dung quyển sách này, chúng ta chỉ tìm hiểu về ba chuẩn cơ bản của véctơ [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex]:
 |
Chuẩn Euclide: |
| [latex]\begin{align*} ||x|| := \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt{x^T x}, \end{align*}[/latex] | |
| tương ứng với khái niệm về khoảng cách trong hai hoặc ba chiều. Tập hợp các điểm có chuẩn [latex]l_2[/latex] bằng nhau là một đường tròn (trong không gian 2D), một mặt cầu (trong không gian 3D), hoặc một siêu cầu trong các chiều cao hơn. | |
 |
|
| Chuẩn [latex]l_1[/latex]: | |
| [latex]\begin{align*} ||x||_1 := \sum\limits_{i=1}^{n} |x_i|, \end{align*}[/latex] | |
| tương ứng với khoảng cách di chuyển trên một lưới hình chữ nhật để đi từ điểm này đến điểm khác. | |
 |
|
| Chuẩn vô cùng [latex]l_\infty[/latex]: | |
| [latex]\begin{align*} ||x||_\infty := \max\limits_{1\leq i\leq n} |x_i|, \end{align*}[/latex] | |
Ví dụ:
- Một véctơ cho trước nói chung sẽ có các “độ dài” khác nhau dưới các chuẩn khác nhau. Ví dụ, véctơ [latex]x = [1, -2, 3]^T[/latex] có các chuẩn [latex]||x||_2 = 3.7147[/latex], [latex]||x||1 = 6[/latex], và [latex]||x||\infty = 3[/latex].
- Sample standard deviation.
2.4. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho phép chúng ta tìm được chặn trên cho tích vô hướng của hai véctơ theo chuẩn Euclide.
Định lý: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
|
Cho trước hai vector [latex]x,y \in \mathbb{R}^n[/latex], ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [latex]x, y[/latex] là cùng phương. Nói cách khác: |
2.5. Góc hợp giữa hai véctơ
Cho trước hai véctơ [latex]x, y[/latex] khác không, ta định nghĩa góc [latex]\theta[/latex] cho bởi
[latex]\begin{align*} \cos\theta = \frac{x^Ty}{||x||_{2}.||y||_{2}} \end{align*}[/latex]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho [latex](x, y)[/latex] và [latex](x,- y)[/latex], chúng ta thấy rằng [latex]\cos\theta[/latex] nằm trong khoảng [latex][-1,1][/latex].
Khái niệm trên tổng quát hóa khái niệm thông thường về góc giữa hai hướng trong không gian hai chiều, và hữu ích trong việc đo góc hợp giữa hai vector. Khi hai vector vuông góc, nghĩa là, [latex]x^T y=0[/latex], góc giữa chúng là [latex]\theta = 90^o[/latex].
Xem thêm: Sự tương đồng giữa hai văn bản.
