Định lý
|
Đối với một ma trận đối xứng [latex]A[/latex], ta có thể biểu diễn các giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất, [latex]\lambda_{\min} (A)[/latex] và [latex]\lambda_{\max} (A)[/latex], như sau [latex]\begin{align*} \lambda_{\min}(A) &= \min\limits_{x} \{x^TAx: x^Tx = 1\}, \end{align*}[/latex] [latex]\begin{align*} \lambda_{\max}(A) &= \max\limits_{x} \{x^TAx: x^Tx = 1\}. \end{align*}[/latex] |
Chứng minh: Chứng minh cho biểu thức trên xuất phát từ phép phân tích giá trị riêng đối xứng (SED) của ma trận, và tính bất biến của ràng buộc chuẩn Euclide dưới các phép biến đổi trực giao. Ta chỉ chứng minh cho giá trị riêng lớn nhất; phép chứng minh cho biểu thức của giá trị riêng nhỏ nhất cũng theo các bước tương tự. Thật vậy, với [latex]A= U\Lambda U^T[/latex], ta có
[latex]\begin{align*} \max\limits_{x} \{x^TAx: x^Tx = 1\} &= \max\limits_{x} \{x^TU\Lambda U^Tx: x^Tx = 1\}. \end{align*}[/latex]
Bây giờ ta đặt biến mới [latex]\tilde{x} = U^Tx[/latex], sao cho [latex]x = U \tilde{x}[/latex], và bài toán trở thành
[latex]\begin{align*} \max\limits_{x} \{x^TAx: x^Tx = 1\} &= \max\limits_{\hat{x}} \{\hat{x}^T\Lambda \hat{x}: \hat{x}^T\hat{x} = 1\} = \max\limits_{\hat{x}}\left\{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i \tilde{x}_i^2: \sum\limits_{i=1}^n \tilde{x}_i^2 =1 \right\}. \end{align*}[/latex]
Rõ ràng, giá trị lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng [latex]\lambda_{\max}[/latex]. Cận trên đó đạt được, với [latex]\tilde{x}_i =1[/latex] cho một chỉ số [latex]i[/latex] sao cho [latex]\lambda_i = \lambda_{\max}[/latex], và [latex]\tilde{x}_j =0[/latex] với [latex]j \neq i[/latex]. Điều này chứng minh kết quả. Điều này tương ứng với việc đặt [latex]x = U \tilde{x} = u_i[/latex], trong đó [latex]u_i[/latex] là véctơ riêng tương ứng với [latex]\lambda_i = \lambda_{\max}[/latex].
