Tỷ suất sinh lợi của một tài sản duy nhất

Tỷ suất sinh lợi [latex]r[/latex] (hay, lợi nhuận) của một tài sản tài chính trong một kỳ nhất định (ví dụ, một năm, hoặc một ngày) là khoản lãi thu được vào cuối kỳ bằng cách đầu tư vào nó. Nói cách khác, nếu vào đầu kỳ, ta đầu tư một số tiền [latex]S[/latex] vào tài sản đó, ta sẽ thu được [latex]S_{\text{end}}:=(1+r)S[/latex] vào cuối kỳ. Tức là:

[latex]\begin{align*} r &= \frac{S_{\text{end}} - S}{S}. \end{align*}[/latex]

Sinh lợi theo hàm log

Thông thường, tỷ suất sinh lợi được xấp xỉ, đặc biệt nếu độ dài của kỳ là nhỏ. Nếu [latex]r \ll 1[/latex], thì

[latex]\begin{align*} r &= \frac{S_{\text{end}}}{S} - 1 \approx y := \log\left(\frac{S_{\text{end}}}{S}\right), \end{align*}[/latex]

với đại lượng sau được gọi là sinh lợi theo hàm log.

Tỷ suất sinh lợi của một danh mục

Đối với [latex]n[/latex] tài sản, ta có thể định nghĩa véctơ [latex]r \in \mathbb{R}^n[/latex], với [latex]r_i[/latex] là tỷ suất sinh lợi của tài sản thứ [latex]i[/latex].

Giả sử rằng vào đầu kỳ, ta đầu tư một số tiền [latex]S[/latex] vào tất cả các tài sản, phân bổ một tỷ trọng [latex]x_i[/latex] (tính theo [latex]\%[/latex]) vào tài sản thứ [latex]i[/latex]. Ở đây [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex] là một véctơ không âm có tổng bằng một. Khi đó, danh mục mà ta đã tạo ra theo cách này sẽ thu được

[latex]\begin{align*} S_{\text{end}} &= \sum\limits_{i=1}^{n} (1 + r_i)x_iS. \end{align*}[/latex]

Tỷ suất sinh lợi của danh mục là sự gia tăng tương đối của tài sản:

[latex]\begin{align*} \frac{S_{\text{end}} - S}{S} &= \sum\limits_{i=1}^n (1 + r_i)x_i - 1 = \sum\limits_{i=1}^n x_i - 1 + \sum\limits_{i=1}^n r_i x_i = r^T x. \end{align*}[/latex]

Do đó, tỷ suất sinh lợi là tích vô hướng giữa véctơ các tỷ suất sinh lợi riêng lẻ [latex]r[/latex] và véctơ các trọng số phân bổ danh mục [latex]x[/latex].

Lưu ý rằng, trong thực tế, các tỷ suất sinh lợi không bao giờ được biết trước, và chúng có thể âm (mặc dù, theo định nghĩa, chúng không bao giờ nhỏ hơn [latex]-1[/latex]).