Chứng minh: Với hai véctơ khác không bất kỳ [latex]p \in \mathbb{R}^{m}, q \in \mathbb{R}^{n}[/latex], ma trận [latex]pq^T[/latex] thực sự có hạng một: nếu [latex]x \in \mathbb{R}^{n}[/latex], thì

$$pq^Tx=(q^Tx)p.$$

Khi [latex]x[/latex] quét khắp [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex], vô hướng [latex]q^Tx[/latex] quét khắp toàn bộ trục số thực (vì [latex]q \neq 0[/latex]), và véctơ [latex](q^Tx)p[/latex] quét khắp không gian con gồm các véctơ tỉ lệ với [latex]p[/latex]. Do đó, không gian ảnh của [latex]pq^T[/latex] là đường thẳng:

$$\mathbf{R}(pq^T) = \{tp\; : \;t \in \mathbb{R}\},$$

có chiều là 1.

Ngược lại, nếu [latex]A[/latex] có hạng một, thì không gian ảnh của nó có chiều là một, do đó nó phải là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Do đó với mọi [latex]x[/latex], tồn tại một hàm [latex]t: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/latex] sao cho

$$Ax = t(x)p.$$

Sử dụng [latex]x = e_i[/latex], trong đó [latex]e_i[/latex] là véctơ thứ [latex]i[/latex] của cơ sở chính tắc, ta thu được rằng tồn tại các số [latex]t_1, \dots, t_n[/latex] sao cho với mọi [latex]i[/latex]:

$$Ae_i = t_ip, \quad i=1,…,n.$$

Ta có thể viết biểu thức trên dưới dạng một phương trình ma trận duy nhất:

\[ A \begin{pmatrix} e_1 & \cdots & e_n \end{pmatrix} = p \begin{pmatrix} t_1 & \cdots & t_n \end{pmatrix} \]

Bây giờ đặt [latex]q = \begin{pmatrix} t_1 \\ \vdots \\ t_n \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n}[/latex], và nhận thấy rằng ma trận [latex](e_1, \dots, e_n)[/latex] chính là ma trận đơn vị, ta thu được [latex]A = pq^T[/latex], như mong muốn.