Định lý về hạng và số khuyết (rank-nullity theorem)
|
Số khuyết (số chiều của không gian hạch) và hạng (số chiều của không gian ảnh) của một ma trận [latex]A[/latex] kích thước [latex]m \times n[/latex] có tổng bằng số chiều cột của [latex]A[/latex], là [latex]n[/latex]. |
Chứng minh:
Đặt [latex]p[/latex] là số chiều của không gian hạch \(\mathbf{N}(A)\) ([latex]p \le n[/latex]). Đặt [latex]U_1[/latex] là một ma trận [latex]n \times p[/latex] sao cho các cột của nó tạo thành một cơ sở trực chuẩn của \(\mathbf{N}(A)\). Cụ thể, ta có [latex]AU_1 = 0[/latex]. Sử dụng phép phân tích QR của ma trận \(\begin{bmatrix} U_1 & I_{n} \end{bmatrix}\), ta thu được một ma trận [latex]U_2[/latex] kích thước [latex]n \times (n-p)[/latex] sao cho ma trận \(\begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix}\) là trực giao. Bây giờ ta định nghĩa ma trận [latex]V := AU_2[/latex] kích thước [latex]m \times (n-p)[/latex].
Ta sẽ chứng minh rằng các cột của [latex]V[/latex] tạo thành một cơ sở cho không gian ảnh của [latex]A[/latex]. Để làm điều này, trước tiên ta chứng minh rằng các cột của [latex]V[/latex] sinh ra không gian ảnh của [latex]A[/latex]. Sau đó, ta sẽ chỉ ra rằng [latex]n-p[/latex] cột này là độc lập tuyến tính. Điều này sẽ cho thấy số chiều của không gian ảnh (tức là hạng) thực sự bằng [latex]n-p[/latex].
Vì \(\begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix}\) là một ma trận trực giao, với mọi [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], tồn tại hai véctơ [latex]x_1, x_2[/latex] sao cho
\[x = U_1x_1 + U_2x_2.\]
Nếu \(x \in \mathbf{R}(A)\), thì
\[Ax = AU_2x_2 = Vx_2 \in \mathbf{R}(V).\]
Điều này chứng tỏ rằng các cột của [latex]V[/latex] sinh ra không gian ảnh của [latex]A[/latex]:
\[\mathbf{R}(A) = \mathbf{R}(V).\]
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng các cột của [latex]V[/latex] là độc lập tuyến tính. Giả sử một véctơ [latex]z[/latex] thỏa mãn [latex]Vz = 0[/latex], và ta sẽ chứng minh [latex]z = 0[/latex]. Ta có [latex]Vz = AU_2 z = 0[/latex], điều này ngụ ý rằng [latex]U_2z[/latex] nằm trong không gian hạch của [latex]A[/latex]. Do đó, tồn tại một véctơ [latex]y[/latex] khác sao cho [latex]U_2z = U_1y[/latex]. Nhân trái phương trình cuối cùng với [latex]U_2^T[/latex], và kết hợp với hai đẳng thức
\[U_2^T U_2 = I_{n-p}, \quad U_2^T U_1 = 0,\]
ta thu được
\[ z = U_2^T U_2 z = U_2^T U_1 y = 0. \]
