Xét ma trận cỡ [latex]6 \times 4[/latex]
\[A=\left(\begin{array}{cccc}0.488894 & 0.888396 & 0.325191 & 0.319207 \\ 1.03469 & -1.14707 & -0.754928 & 0.312859 \\ 0.726885 & -1.06887 & 1.3703 & -0.86488 \\ -0.303441 & -0.809499 & -1.71152 & -0.0300513 \\ 0.293871 & -2.94428 & -0.102242 & -0.164879 \\ -0.787283 & 1.43838 & -0.241447 & 0.627707\end{array}\right).\]
Ma trận này có hạng cột đầy đủ. [latex]Q[/latex] là một ma trận cỡ [latex]6 \times 4[/latex] và [latex]R[/latex] là một ma trận cỡ [latex]4 \times 4[/latex]:
\[A=Q R, \quad Q=\left(\begin{array}{cccc}0.301109 & 0.460748 & -0.0940935 & 0.24499 \\ 0.637266 & 0.0433642 & -0.558601 & 0.251199 \\ 0.447688 & -0.0504968 & 0.519798 & -0.41105 \\ -0.186889 & -0.365412 & -0.617955 & -0.489793 \\ 0.180995 & -0.79363 & 0.163942 & 0.492111 \\ -0.484886 & 0.141088 & -0.0132838 & 0.475232\end{array}\right),\]
\[R=\left(\begin{array}{cccc}1.62364 & -2.02107 & 0.648726 & -0.420299 \\ 0 & 3.24897 & 0.720385 & 0.434711 \\ 0 & 0 & 2.14747 & -0.67116 \\ 0 & 0 & 0 & 0.744188\end{array}\right).\]
Điều này cho thấy [latex]A[/latex] có hạng cột đầy đủ vì [latex]R[/latex] là ma trận khả nghịch.
Với phân tích QR đầy đủ, [latex]Q[/latex] bây giờ là một ma trận trực giao cỡ [latex]6 \times 6[/latex]:
\[Q=\left(\begin{array}{cccccc}0.301109 & 0.460748 & -0.0940935 & 0.24499 & 0.692493 & -0.385519 \\ 0.637266 & 0.0433642 & -0.558601 & 0.251199 & -0.253083 & 0.390928 \\ 0.447688 & -0.0504968 & 0.519798 & -0.41105 & 0.332021 & 0.49763 \\ -0.186889 & -0.365412 & -0.617955 & -0.489793 & 0.452645 & 0.0699514 \\ 0.180995 & -0.79363 & 0.163942 & 0.492111 & 0.213643 & -0.15066 \\ -0.484886 & 0.141088 & -0.0132838 & 0.475232 & 0.309248 & 0.650633\end{array}\right),\]
\[R=\left(\begin{array}{cccc}1.62364 & -2.02107 & 0.648726 & -0.420299 \\ 0 & 3.24897 & 0.720385 & 0.434711 \\ 0 & 0 & 2.14747 & -0.67116 \\ 0 & 0 & 0 & 0.744188 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right).\]
Ta có thể thấy điều gì xảy ra khi ma trận đầu vào không có hạng cột đầy đủ: ví dụ, hãy xét ma trận
\[A=\left(\begin{array}{cccc}1.09327 & 1.10927 & -0.863653 & 1.32288 \\ -1.21412 & -1.1135 & -0.00684933 & -2.43508 \\ -0.769666 & 0.371379 & -0.225584 & -1.76492 \\ -1.08906 & 0.0325575 & 0.552527 & -1.6256 \\ 1.54421 & 0.0859311 & -1.49159 & 1.59683\end{array}\right).\]
([latex]A[/latex] không có hạng cột đầy đủ, vì nó được tạo ra sao cho cột cuối cùng là một tổ hợp của cột thứ nhất và thứ ba.)
Phân tích QR (đầy đủ) bây giờ cho kết quả:
\[R=\left(\begin{array}{cccc}2.61388 & 0.909015 & -1.40302 & 3.82473 \\ 0 & 1.33807 & 0.0979073 & 0.0979073 \\ 0 & 0 & 1.16142 & 1.16142 \\ 0 & 0 & 0 & 0.00000 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right).\]
Ta quan sát thấy rằng phần tử trên đường chéo cuối cùng gần như bằng không, và cột cuối cùng được thấy là một tổ hợp tuyến tính của cột thứ nhất và thứ ba. Điều này cho thấy hạng của [latex]R[/latex] (cũng bằng hạng của [latex]A[/latex]) thực chất là [latex]3[/latex].
