Giả nghịch đảo của một ma trận \( A \) kích thước \( m \times n \) là một ma trận tổng quát hóa khái niệm ma trận nghịch đảo (của một ma trận vuông, khả nghịch) cho các ma trận bất kỳ. Ma trận giả nghịch đảo có thể được biểu diễn từ phép SVD của \( A \) như sau.
Cho phép phân tích SVD của [latex]A[/latex] là:
\[A = U \left( \begin{array}{cc} S & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) V^T,\]
trong đó [latex]U,V[/latex] đều là các ma trận trực giao, và [latex]S[/latex] là một ma trận đường chéo chứa các giá trị suy biến (dương) của [latex]A[/latex] trên đường chéo chính của nó.
Khi đó, giả nghịch đảo của [latex]A[/latex] là ma trận kích thước [latex]n \times m[/latex] được định nghĩa là:
\[A^\dagger = V \left( \begin{array}{cc} S^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) U^T.\]
Lưu ý rằng [latex]A^\dagger[/latex] có cùng kích thước với ma trận chuyển vị của [latex]A[/latex].
Ma trận này có nhiều tính chất hữu dụng:
● Nếu [latex]A[/latex] có hạng cột đầy đủ, nghĩa là [latex]\mathbf{hạng}(A) = n \leq m[/latex], tức là [latex]A^TA[/latex] không suy biến (khả nghịch), thì [latex]A^\dagger[/latex] là một nghịch đảo trái của [latex]A[/latex], nghĩa là [latex]A^\dagger A = I_n[/latex]. Ta có biểu thức dạng đóng như sau:
\[A^\dagger = (A^TA)^{-1}A^T.\]
● Nếu [latex]A[/latex] có hạng hàng đầy đủ, nghĩa là [latex]\mathbf{hạng}(A) = m \leq n[/latex], tức là [latex]AA^T[/latex] không suy biến (khả nghịch), thì [latex]A^\dagger[/latex] là một nghịch đảo phải của [latex]A[/latex], nghĩa là [latex]AA^\dagger = I_m[/latex]. Ta có biểu thức dạng đóng như sau:
\[A^\dagger = A^T(AA^T)^{-1}.\]
● Nếu [latex]A[/latex] là ma trận vuông và khả nghịch, thì giả nghịch đảo của nó chính là ma trận nghịch đảo: [latex]A^\dagger = A^{-1}[/latex].
● Nghiệm của bài toán bình phương tối tiểu là
\[\min_x \: ||Ax-y||_2\]
với chuẩn nhỏ nhất là [latex]x^* = A^\dagger y[/latex].
