Quay trở lại ví dụ liên quan đến các luật luỹ thừa, ta đặt câu hỏi tìm mô hình “tốt nhất” có dạng

[latex]\begin{align*} y &= C x_{i1}^{a_1} \cdots x_{in}^{a_n}, \end{align*}[/latex]

với các thí nghiệm có một vài véctơ đầu vào [latex]x_{i}[/latex] và các đầu ra tương ứng [latex]y_i[/latex], [latex]i=1,\cdots,m[/latex]. Ở đây các biến của bài toán chúng ta là [latex]C[/latex], và véctơ [latex]a \in \mathbb{R}^n[/latex]. Lấy logarit, ta thu được

[latex]\begin{align*} \log(y_i) &= \log(C) + a_1 \log(x_{i1}) + \cdots + a_n \log(x_{in}), \end{align*}[/latex]

có thể được sắp xếp lại thành dạng tuyến tính

[latex]\begin{align*} \tilde{y}_i &= a^T \tilde{x}_{i} +b, \quad i=1,\cdots, m, \end{align*}[/latex]

trong đó [latex]b = \log(C)[/latex], và [latex]\tilde{x}_i[/latex] và [latex]\tilde{y}_i[/latex] tương ứng là logarit của [latex]x_i[/latex] và [latex]y_i[/latex]. Ta có thể biểu diễn các phương trình tuyến tính trên một cách gọn gàng là

[latex]\begin{align*} \begin{pmatrix} \tilde{y}_1 \\ \vdots \\ \tilde{y}_m \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \tilde{x}_1^T & 1 \\ \vdots & \vdots \\ \tilde{x}_m^T & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}. \end{align*}[/latex]

Trong thực tế, mô hình luật lũy thừa chỉ là một biểu diễn xấp xỉ. Việc tìm sự khớp tốt nhất có thể được phát biểu dưới dạng bài toán tối ưu hóa

[latex]\begin{align*} \min\limits_z ||Xz-\tilde{y}||_2^2, \end{align*}[/latex]

trong đó [latex]z = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n+1}[/latex], [latex]X \in \mathbb{R}^{m \times (n+1)}[/latex], với cột thứ [latex]i[/latex] của [latex]X[/latex] được cho bởi [latex]\begin{pmatrix} \tilde{x}_{i} \\ 1 \end{pmatrix}[/latex], và [latex]\tilde{y} = \begin{pmatrix} \tilde{y}_1 \\ \vdots \\ \tilde{y}_m \end{pmatrix}[/latex].

Xem thêm: Luật luỹ thừa.