Cho [latex]S[/latex] là một không gian con của [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Phần bù trực giao của [latex]S[/latex], ký hiệu là [latex]S^\perp[/latex], là không gian con của [latex]\mathbb{R}^n[/latex] chứa các véctơ trực giao với tất cả các véctơ trong [latex]S[/latex]. Nếu không gian con được mô tả là không gian ảnh của một ma trận:

\[ S = \{ Ax \: : \: x \in \mathbb{R}^n \}, \]

thì phần bù trực giao là tập hợp các véctơ trực giao với các hàng của [latex]A[/latex], chính là không gian hạt nhân của [latex]A^T[/latex].

Ví dụ: Xét đường thẳng trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex] đi qua gốc tọa độ và được sinh bởi véctơ [latex]u = (1,2,3)[/latex]. Đây là một không gian con có chiều 1:

[latex]S = \left\{ tu \: : \: t \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ \begin{pmatrix} t \\ 2t \\ 3t \end{pmatrix} \: : \: t \in \mathbb{R} \right\}.[/latex]

Để tìm phần bù trực giao, ta tìm tập hợp các véctơ trực giao với một véctơ bất kỳ có dạng [latex]tu[/latex], với [latex]t \in \mathbb{R}[/latex] tùy ý. Đây cũng chính là tập hợp các véctơ trực giao với chính véctơ [latex]u[/latex]. Do đó, ta giải phương trình [latex]u^T x = 0[/latex] với [latex]x \in \mathbb{R}^3[/latex]:

\[ x_1 + 2 x_2 + 3x_3 = 0. \]

Phương trình này tương đương với [latex]x_1 = -2x_2-3x_3[/latex]. Phương trình này đặc trưng cho các phần tử của phần bù trực giao [latex]S^\perp[/latex], theo nghĩa là một véctơ [latex]x \in S^\perp[/latex] bất kỳ có thể được viết dưới dạng

[latex]x = \begin{pmatrix} -2\alpha - 3\beta \\ \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \alpha u' + \beta v',[/latex]

với các vô hướng [latex]\alpha, \beta[/latex] nào đó, trong đó

[latex]u' = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, v' = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.[/latex]

Do đó, phần bù trực giao là bao tuyến tính của các véctơ [latex]u', v'[/latex]: [latex]S^\perp = \textbf{span}(u',v')[/latex].