13
13.1 Các ma trận vuông hạng đầy đủ và ma trận nghịch đảo
Một ma trận vuông [latex]n\times n[/latex] được gọi là khả nghịch nếu và chỉ nếu các cột của nó là độc lập. Điều này tương đương với việc các hàng của nó cũng độc lập. Một định nghĩa tương đương khác nói rằng một ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác không.
Với mỗi ma trận khả nghịch [latex]A[/latex], tồn tại một ma trận duy nhất [latex]B[/latex] sao cho [latex]AB = BA = I_{n}[/latex]. Ma trận [latex]B[/latex] được ký hiệu là [latex]A^{-1}[/latex] và được gọi là ma trận nghịch đảo của [latex]A[/latex].
| Ví dụ 1: Ma trận [latex]2 \times 2[/latex]. |
| Xét ma trận và ma trận nghịch đảo của nó:
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}, \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix}. \] Tích của [latex]A[/latex] và [latex]A^{-1}[/latex] là: \[ AA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \] Đây là ma trận đơn vị [latex]I_{2}[/latex]. Tương tự, [latex]A^{-1}A[/latex] cũng sẽ cho kết quả là [latex]I_{2}[/latex]. |
Nếu một ma trận [latex]R[/latex] là ma trận tam giác khả nghịch, chúng ta có thể tính ma trận nghịch đảo [latex]R^{-1}[/latex] của nó một cách đơn giản, như sau: Giải [latex]n[/latex] phương trình tuyến tính có dạng [latex]Rx_{i}=e_{i}, i =1, \dots, n[/latex], với [latex]e_{i}[/latex] là cột thứ [latex]i[/latex] của ma trận đơn vị [latex]n \times n[/latex], sử dụng một quá trình được gọi là \textit{phép thế ngược}. Đây là một ví dụ. Ban đầu, chúng ta tạo ma trận [latex]R^{-1} = [x_{1}, \dots, x_{n}][/latex]. Theo cấu trúc, [latex]R \cdot R^{-1} = I_{n}[/latex].
Đối với một ma trận [latex]A[/latex] vuông và khả nghịch tổng quát, phân tích QR có thể được sử dụng để tính ma trận nghịch đảo của nó. Đối với các ma trận như vậy, phân tích QR có dạng [latex]A = QR[/latex], với [latex]Q[/latex] là một ma trận trực giao [latex]n \times n[/latex], và [latex]R[/latex] là ma trận tam giác trên. Khi đó ma trận nghịch đảo là [latex]A^{-1}=R^{-1}Q^{T}[/latex].
Một tính chất hữu ích là biểu thức của ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận vuông khả nghịch [latex]A, B[/latex]: [latex](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/latex].
13.2 Các ma trận hạng cột đầy đủ và ma trận nghịch đảo trái
Một ma trận [latex]m \times n[/latex] được gọi là hạng cột đầy đủ nếu các cột của nó là độc lập. Điều này kéo theo [latex]m \ge n[/latex].
Một ma trận [latex]A[/latex] có hạng cột đầy đủ nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận [latex]n \times m[/latex] là [latex]B[/latex] sao cho [latex]BA=I_{n}[/latex] (ở đây [latex]n \le m[/latex] là kích thước nhỏ). Chúng ta nói rằng [latex]B[/latex] là một ma trận \textit{nghịch đảo trái} của [latex]A[/latex]. Để tìm một ma trận nghịch đảo trái của ma trận có các cột độc lập [latex]A[/latex], chúng ta sử dụng phân tích QR đầy đủ của [latex]A[/latex] để viết:
\[A = Q \begin{pmatrix} R_{1} & 0 \end{pmatrix},\]
trong đó [latex]R_{1}[/latex] là ma trận tam giác trên [latex]n \times n[/latex] và khả nghịch, trong khi [latex]Q[/latex] là [latex]m \times m[/latex] và trực giao ([latex]Q^{T}Q = I_{m}[/latex]). Sau đó, chúng ta có thể đặt một ma trận nghịch đảo trái [latex]B[/latex] là:
\[B = \begin{pmatrix} R_{1}^{-1} \\ 0 \end{pmatrix}Q^{T}.\]
Lựa chọn cụ thể trên có thể được biểu diễn trực tiếp theo [latex]A[/latex]:
\[B = (A^{T}A)^{-1}A^{T}.\]
Lưu ý rằng [latex]A^{T}A[/latex] là khả nghịch, vì nó bằng [latex]R_{1}^{T}R_{1}[/latex].
Nói chung, các ma trận nghịch đảo trái không duy nhất.
13.3 Các ma trận hạng hàng đầy đủ và ma trận nghịch đảo phải
Một ma trận [latex]m \times n[/latex] được gọi là hạng hàng đầy đủ nếu các hàng của nó là độc lập. Điều này kéo theo [latex]m \le n[/latex]. Một ma trận [latex]A[/latex] có hạng hàng đầy đủ nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận [latex]n \times m[/latex] là [latex]B[/latex] sao cho [latex]AB=I_{m}[/latex] ([latex]m \le n[/latex]). Chúng ta nói rằng [latex]B[/latex] là một ma trận nghịch đảo phải của [latex]A[/latex].
Chúng ta có thể suy ra các biểu thức của ma trận nghịch đảo phải bằng cách lưu ý rằng [latex]A[/latex] có hạng hàng đầy đủ nếu và chỉ nếu [latex]A^{T}[/latex] có hạng cột đầy đủ. Đặc biệt, đối với một ma trận có các hàng độc lập, phân tích QR đầy đủ (của [latex]A^{T}[/latex]) cho phép viết: \[A = \begin{pmatrix} R_{1}^{T} & 0 \end{pmatrix} Q^{T},\] trong đó [latex]R_{1}[/latex] là ma trận tam giác trên [latex]m \times m[/latex] và khả nghịch, trong khi [latex]Q[/latex] là [latex]n \times n[/latex] và trực giao ([latex]Q^{T}Q = I_{n}[/latex]). Sau đó, chúng ta có thể đặt một ma trận nghịch đảo phải của [latex]A[/latex] là: \[B = Q \begin{pmatrix} R_{1}^{-1} \\ 0 \end{pmatrix}.\] Lựa chọn cụ thể trên có thể được biểu diễn trực tiếp theo [latex]A[/latex]: \[B = A^{T}(AA^{T})^{-1}.\] Lưu ý rằng [latex]AA^{T}[/latex] là khả nghịch, vì nó bằng [latex]R_{1}^{T}R_{1}[/latex]. Nói chung, các ma trận nghịch đảo phải không phải là duy nhất.
