"

Quay lại ví dụ này, liên quan đến một ma trận có số hàng \(m=4\) và số cột \(n=5\):

\[ A=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) . \]

Phép phân tích SVD được cho bởi \(A=U \tilde{S} V^T\), với

\[ U=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad \tilde{S}=\left(\begin{array}{ccccc} 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad V^T=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sqrt{0.2} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.8} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sqrt{0.8} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.2} \end{array}\right) . \]

Ma trận có hạng \(r=3\). Một xấp xỉ hạng hai được cho bởi việc cho giá trị suy biến nhỏ nhất bằng không, ta thu được

\[ \begin{aligned} \hat{A}_2 & =\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc} 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sqrt{0.2} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.8} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sqrt{0.8} & 0 & 0 & 0 & \sqrt{0.2} \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \\ & =\left(\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) . \end{aligned} \]

Ta kiểm tra rằng chuẩn Frobenius của sai số \(\|A-\hat{A}_2\|_F\) là tổng các giá trị suy biến mà ta đã cho bằng không, trong trường hợp này rút gọn thành \(\sigma_3=\sqrt{5}\):

\[ E:=A-\hat{A}_2=\left(\begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad \|E\|_F^2=1^2+2^2=5 . \]

License

Icon for the Public Domain license

This work (Đại số tuyến tính by Tony Tin) is free of known copyright restrictions.