Định lý cơ bản của đại số tuyến tính

Chứng minh: Định lý này sử dụng một tính chất là nếu một phép phân tích SVD của ma trận [latex]A[/latex] là

$$
A=U \tilde{S} V^T, \quad \tilde{S}=\mathbf{diag}\left(\sigma_1, \ldots, \sigma_r, 0, \ldots, 0\right)
$$

thì một phép phân tích SVD của ma trận chuyển vị của nó được thu được đơn giản bằng cách chuyển vị tích ba ma trận đó:

$$
A^T=\left(U \tilde{S} V^T\right)^T=V \tilde{S} U^T .
$$

Do đó, các véctơ suy biến trái của [latex]A[/latex] là các véctơ suy biến phải của [latex]A^T[/latex].

Từ đây, không gian ảnh của [latex]A^T[/latex] được sinh bởi [latex]r[/latex] cột đầu tiên của [latex]V[/latex]. Vì không gian hạch của [latex]A[/latex] được sinh bởi [latex]n-r[/latex] cột cuối cùng của [latex]V[/latex], ta quan sát thấy rằng không gian hạch của [latex]A[/latex] và không gian ảnh của [latex]A^T[/latex] là hai không gian con trực giao, mà tổng số chiều của chúng bằng với số chiều của toàn bộ không gian. Cụ thể, ta có thể biểu diễn một véctơ [latex]x[/latex] bất kỳ dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các cột của [latex]V[/latex]; [latex]r[/latex] cột đầu tiên tương ứng với véctơ [latex]z \in \mathbf{R}\left(A^T\right)[/latex] và [latex]n-r[/latex] cột cuối cùng tương ứng với véctơ [latex]y \in \mathbf{N}(A)[/latex]:

$$
x=V\left(V^T x\right)=\underbrace{\sum_{i=1}^r \tilde{x}_i v_i}_{=z}+\underbrace{\sum_{i=r+1}^n \tilde{x}_i v_i}_{=y}, \quad \tilde{x}:=V^T x .
$$

Điều này chứng minh kết quả đầu tiên trong định lý.

Phát biểu cuối cùng sau đó là một hệ quả hiển nhiên của kết quả đầu tiên này: nếu [latex]x[/latex] trực giao với không gian hạch, thì véctơ [latex]y[/latex] trong định lý trên phải bằng không, do đó [latex]x = z \in \mathbf{R}\left(A^T\right)[/latex].