Hàm số

Trong giáo trình này, chúng ta định nghĩa hàm số là các đối tượng nhận một đối số trong [latex]\mathbb{R}^n[/latex], và trả về một giá trị trong [latex]\mathbb{R}[/latex]. Ta sử dụng ký hiệu

$$
f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R},
$$

để chỉ một hàm số với không gian “đầu vào” là [latex]\mathbb{R}^n[/latex]. Không gian “đầu ra” cho các hàm số là [latex]\mathbb{R}[/latex].

Ví dụ: Hàm số [latex]f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/latex] với các giá trị

$$
f(x)=\sqrt{\left(x_1-y_1\right)^2+\left(x_2-y_2\right)^2}
$$

cho ta biết khoảng cách từ điểm [latex]\left(x_1, x_2\right)[/latex] đến [latex]\left(y_1, y_2\right)[/latex].

Ta cho phép các hàm số nhận các giá trị vô cùng. Miền xác định của một hàm số [latex]f[/latex], ký hiệu là [latex]\operatorname{dom} f[/latex], được định nghĩa là tập hợp các điểm mà tại đó hàm số hữu hạn.

Ví dụ:Định nghĩa hàm logarit là hàm [latex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/latex], với các giá trị [latex]f(x)=\log x[/latex] nếu [latex]x>0[/latex], và [latex]-\infty[/latex] trong trường hợp ngược lại. Do đó, miền xác định của hàm số là [latex]\mathbb{R}_{++}[/latex] (tập các số thực dương).

Ánh xạ

Ta sử dụng thuật ngữ ánh xạ để chỉ các hàm trả về nhiều hơn một giá trị duy nhất, và sử dụng ký hiệu

$$
f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m,
$$

để chỉ một ánh xạ với không gian đầu vào là [latex]\mathbb{R}^n[/latex] và không gian đầu ra là [latex]\mathbb{R}^m[/latex]. Các thành phần của ánh xạ [latex]f[/latex] là các hàm (nhận giá trị vô hướng) [latex]f_i, i=1, \; \ldots, m[/latex].

Ví dụ:
Ánh xạ [latex]f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}[/latex] với các giá trị
\[f(x) = \begin{pmatrix} \sqrt{x_{1}^2 + x_{2}^2} \cos(x_{3}) \\[0.7em] \sqrt{x_{1}^2 + x_{2}^2} \sin(x_{3}) \end{pmatrix}.\]
có các thành phần là các hàm [latex]f_{i}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, \; i=1,2[/latex], với các giá trị
[latex]f_{1}(x)=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2}\cos(x_{3}), \quad f_{2}(x)=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2}\sin(x_{3}).[/latex]