Định lý
|
Một ma trận \( A \) trong \( \mathbb{R}^{m \times n} \) là: ● hạng cột đầy đủ khi và chỉ khi \( A^T A \) là khả nghịch. ● hạng hàng đầy đủ khi và chỉ khi [latex]AA^T[/latex] khả nghịch. |
Chứng minh:
Ma trận có hạng cột đầy đủ khi và chỉ khi không gian hạch của nó chỉ gồm duy nhất phần tử không [latex]\{0\}[/latex], tức là,
\[ Ax = 0 \implies x = 0 \]
Nếu [latex]A^T A[/latex] khả nghịch, thì điều kiện [latex]Ax = 0[/latex] suy ra [latex]A^T A x = 0[/latex], từ đó suy ra [latex]x = 0[/latex].
Ngược lại, giả sử ma trận có hạng cột đầy đủ, và cho một véctơ [latex]x[/latex] sao cho [latex]A^T A x = 0[/latex]. Khi đó ta có [latex]x^T A^T A x = ||Ax||_2^2 = 0[/latex], điều này có nghĩa là [latex]Ax = 0[/latex]. Vì [latex]A[/latex] có hạng cột đầy đủ, ta thu được [latex]x = 0[/latex], như mong muốn. Phép chứng minh cho tính chất còn lại cũng theo các bước tương tự.
