22.1 Hạt nhân, hạng và ảnh

1. Xác định hạt nhân, ảnh và hạng của một ma trận cỡ [latex]m \times n[/latex] có dạng

[latex]\begin{align*} A = \begin{pmatrix} S & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{align*}[/latex]

trong đó [latex]S = \text{diag}(\sigma_1,...,\sigma_r)[/latex], với [latex]\sigma_1 \geq ... \geq \sigma_r > 0[/latex], và [latex]r \leq \mathrm{min}(m, n)[/latex]. Ở trên, các số không thực chất là các ma trận không, có cỡ phù hợp.

2. Xét ma trận [latex]uv^T[/latex] với [latex]u \in \mathbb{R}^m, v \in \mathbb{R}^n[/latex].

a. Ma trận [latex]A[/latex] có cỡ là bao nhiêu?

b. Xác định hạt nhân, ảnh và hạng của [latex]A[/latex].