17
17.1. Tích ma trận
Giả sử [latex]f: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k[/latex] và [latex]g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m[/latex] là hai ánh xạ. Gọi
[latex]h: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k[/latex]
là ánh xạ hợp [latex]h=f \circ g[/latex], với các giá trị [latex]h(x)=f(g(x))[/latex] với [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex].
Chứng minh rằng đạo hàm của [latex]h[/latex] có thể được biểu diễn qua một tích ma trận, là [latex]J_h(x)=J_f(g(x)) \cdot J_g(x)[/latex], trong đó ma trận Jacobi của [latex]h[/latex] tại [latex]x[/latex] được định nghĩa là ma trận [latex]J_h(x)[/latex] có phần tử [latex](i, j)[/latex] là [latex]\partial h_i / \partial x_j(x)[/latex].
17.2 Các ma trận đặc biệt
Một ma trận [latex]P \in \mathbb{R}^{n \times n}[/latex] là một ma trận hoán vị nếu nó là một hoán vị của các cột của ma trận đơn vị cỡ [latex]n \times n[/latex].
a. Với một ma trận [latex]A[/latex] cỡ [latex]n \times n[/latex], ta xét các tích [latex]P A[/latex] và [latex]A P[/latex]. Hãy mô tả một cách đơn giản các ma trận này trông như thế nào so với ma trận [latex]A[/latex] ban đầu.
b. Chứng minh rằng [latex]P[/latex] là ma trận trực giao.
c. Chứng minh rằng [latex]P^2=I[/latex].
17.3. Ánh xạ tuyến tính và hệ động lực
1. Gọi [latex]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m[/latex] là một ánh xạ tuyến tính. Chứng minh cách tính ma trận (duy nhất) [latex]A[/latex] sao cho [latex]f(x)=A x[/latex] với mọi [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], theo các giá trị của [latex]f[/latex] tại các véctơ thích hợp mà bạn sẽ xác định.
2. Xét một hệ động lực tuyến tính thời gian rời rạc (để biết thêm, xem tại đây) với trạng thái [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], véctơ đầu vào [latex]u \in \mathbb{R}^p[/latex], và véctơ đầu ra [latex]y \in \mathbb{R}^k[/latex], được mô tả bởi các phương trình tuyến tính
\[ x(t+1) = A x(t) + B u(t), \quad y(t) = C x(t) \]
với các ma trận cho trước [latex]A \in \mathbb{R}^{n \times n}, \; B \in \mathbb{R}^{n \times p}[/latex], và [latex]C \in \mathbb{R}^{k \times n}[/latex].
a. Giả sử rằng hệ có điều kiện đầu [latex]x(0)=0[/latex], hãy biểu diễn véctơ đầu ra tại thời điểm [latex]T[/latex] thành một hàm tuyến tính của [latex]u(0), \ldots, u(T)[/latex]; tức là, xác định một ma trận [latex]H[/latex] sao cho [latex]y(T)=H \bar{u}(T)[/latex], trong đó [latex]\bar{u}(T):=(u(0), \ldots, u(T-1))[/latex] là một véctơ chứa tất cả các đầu vào cho đến và bao gồm thời điểm [latex]T-1[/latex].
b. Ảnh của [latex]H[/latex] có ý nghĩa là gì?
17.4 Nghịch đảo ma trận và chuẩn
1. Chứng minh rằng một ma trận vuông là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác không. Có thể sử dụng tính chất định thức của một tích bằng tích các định thức, cùng với phân tích QR của ma trận \(A\).
2. Cho [latex]A \in \mathbb{R}^{m \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times p}[/latex], và gọi [latex]C:=A B \in \mathbb{R}^{m \times p}[/latex]. Chứng minh rằng [latex]\|C\| \leq\|A\| \cdot\|B\|[/latex] trong đó [latex]\|\cdot\|[/latex] ký hiệu cho chuẩn giá trị suy biến lớn nhất của tham số ma trận của nó.
