Một phép chiếu Euclid của một điểm [latex]x_0[/latex] trong [latex]\mathbb{R}^n[/latex] lên một tập hợp [latex]\mathbf{S} \subseteq \mathbb{R}^n[/latex] là một điểm đạt được khoảng cách Euclid nhỏ nhất từ [latex]x_0[/latex] đến tập hợp đó. Tức là, nó là một nghiệm bất kỳ của bài toán tối ưu hóa

\[\min_x \, \left\| x – x_0 \right\|_2 \, : \, x \in \mathbf{S}.\]

Khi tập hợp [latex]\mathbf{S}[/latex] là lồi, có một nghiệm duy nhất cho bài toán trên. Đặc biệt, phép chiếu lên một không gian con afin là duy nhất.

Ví dụ: giả sử \(\mathbf{S}\) là một siêu phẳng

\[\mathbf{S} = \left\{ x \in \mathbb{R}^3 \, : \, 2x_1 + x_2 -x_3 = 1 \right\}.\]

Bài toán phép chiếu được viết dưới dạng một bài toán bình phương tối tiểu có ràng buộc tuyến tính, với dạng đặc biệt đơn giản:

\[\min_x \, \left\| x \right\|_2 \, : \, 2x_1 + x_2 -x_3 = 1.\]

Phép chiếu của [latex]x_0 = 0[/latex] lên [latex]\mathbf{S}[/latex] là cùng phương với véctơ hệ số [latex]a = (2,1,-1)[/latex]. Thật vậy, các thành phần của [latex]x[/latex] trực giao với [latex]a[/latex] không xuất hiện trong ràng buộc, và chỉ làm tăng giá trị hàm mục tiêu. Đặt [latex]x = t a[/latex] vào phương trình định nghĩa siêu phẳng và giải tìm vô hướng [latex]t[/latex] ta thu được

\[t = \frac{1}{a^T a} = \frac{1}{6},\]

do đó phép chiếu là

\[x^* = \frac{a}{a^T a} = \left(\frac{1}{3},\frac{1}{6},-\frac{1}{6}\right).\]