Xét
[latex]\begin{align*} A:=\left(\begin{array}{cc} 3/2 & -1/2 \\ -1/2 & 3/2 \end{array}\right). \end{align*}[/latex]
Ta giải phương trình đặc trưng:
[latex]\begin{align*} 0 &= \det(\lambda I-A) = (\lambda -(3/2))^2 -(1/4) = (\lambda-1)(\lambda-2). \end{align*}[/latex]
Do đó các giá trị riêng là [latex]\lambda_1 =1[/latex], [latex]\lambda_2 =2[/latex]. Với mỗi giá trị riêng [latex]\lambda[/latex], ta tìm một véctơ có chuẩn đơn vị [latex]u[/latex] sao cho [latex]Au = \lambda u[/latex]. Với [latex]\lambda =\lambda_1[/latex], ta thu được phương trình theo [latex]u= u_1[/latex]
[latex]\begin{align*} 0 &= (A-\lambda_1) u_1 = \left(\begin{array}{cc} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{array}\right) u_1 \end{align*}[/latex]
dẫn đến (sau khi chuẩn hóa) một véctơ riêng [latex]u_1:= (1/\sqrt{2})[1,1][/latex]. Tương tự với [latex]\lambda_2[/latex] ta thu được véctơ riêng [latex]u_2:= (1/\sqrt{2})[1,-1][/latex]. Do đó, [latex]A[/latex] có phép phân tích iá trị riêng đối xứng (SED – Symmetric Eigenvalue Decomposition)
[latex]\begin{align*} A=&\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\right)^T\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\right). \end{align*}[/latex]
