Với một chuẩn [latex]||\cdot||[/latex] cho trước trên [latex]\mathbb{R}^n[/latex], chuẩn đối ngẫu, ký hiệu là [latex]||\cdot||_*[/latex], là hàm số từ [latex]\mathbb{R}^n[/latex] đến [latex]\mathbb{R}[/latex] với các giá trị

[latex]\begin{align*} \|y\|_* &= \max\limits_{x} \{x^Ty: \|x\| \leq 1\}. \end{align*}[/latex]

Định nghĩa trên thực sự tương ứng với một chuẩn: nó là lồi, vì nó là giá trị lớn nhất theo từng điểm của các hàm lồi (thực chất là tuyến tính) [latex]y \rightarrow y^Tx[/latex] nó có tính thuần nhất bậc [latex]1[/latex], tức là, [latex]||\alpha y||_* = \alpha ||y||_*[/latex] với mọi [latex]y \in \mathbb{R}^n[/latex] và [latex]\alpha \ge 0[/latex].

Theo định nghĩa của chuẩn đối ngẫu,

[latex]\begin{align*} x^Ty &\leq \|x\|\cdot \|y\|_*. \end{align*}[/latex]

Điều này có thể được xem như một phiên bản tổng quát của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, vốn tương ứng với chuẩn Euclid.

Ví dụ:

● Chuẩn đối ngẫu với chuẩn Euclid là chính nó. Điều này suy ra trực tiếp từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

● Chuẩn đối ngẫu với chuẩn [latex]l_\infty[/latex] là chuẩn [latex]l_1[/latex]. Điều này là do bất đẳng thức

[latex]\begin{align*} x^Ty &\leq \|x\|_\infty \cdot \|y\|_1. \end{align*}[/latex]

là luôn đúng, và dấu bằng đạt được khi [latex]x = {\bf sign}(y)[/latex].

● Chuẩn đối ngẫu của chuẩn đối ngẫu chính là chuẩn ban đầu ta xét.