Định lý:
|
Một tập \(\mathbf{H}\) trong \(\mathbb{R}^n\) có dạng \[\mathbf{H} = \left\{ x \, : \, a^T x = b \right\},\] trong đó [latex]a \in \mathbb{R}^n[/latex], [latex]a \neq 0[/latex], và [latex]b \in \mathbb{R}[/latex] là các giá trị cho trước, là một tập affine có chiều [latex]n-1[/latex]. Ngược lại, mọi tập affine có chiều [latex]n-1[/latex] đều có thể được biểu diễn bằng một phương trình affine duy nhất có dạng [latex]a^T x = b[/latex], như trên. |
Chứng minh:
Xét một tập \(\mathbf{H}\) được mô tả bởi một phương trình afin duy nhất:
\[a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = b,\]
với [latex]a \neq 0[/latex]. Ta hãy giả sử ví dụ rằng [latex]a_1 \neq 0[/latex]. Ta có thể biểu diễn [latex]x_1[/latex] như sau:
\[ x_1 = \frac{b}{a_1} – \frac{a_2}{a_1} x_2 – \dots – \frac{a_n}{a_1} x_n. \]
Điều này cho thấy tập hợp có dạng [latex]z_0 + \mathbf{span}(z_1,\ldots,z_{n-1})[/latex], trong đó
\[ z_0 = \begin{pmatrix} b/a_1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad z_1 = \begin{pmatrix} -\dfrac{a_2}{a_1} \\[0.8em] 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \ldots, \quad z_{n-1} = \begin{pmatrix} -\dfrac{a_n}{a_1} \\[0.8em] 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \]
Vì các véctơ [latex]z_1,\ldots,z_{n-1}[/latex] độc lập tuyến tính, chiều của \(\mathbf{H}\) là [latex]n-1[/latex]. Điều này chứng tỏ rằng \(\mathbf{H}\) là một tập afin có chiều [latex]n-1[/latex].
Mệnh đề ngược lại cũng đúng. Mọi không gian con \(\mathbf{L}\) có chiều [latex]n-1[/latex] đều có thể được biểu diễn thông qua một phương trình [latex]a^T x = 0[/latex] với một [latex]a \neq 0[/latex] nào đó. Dàn ý của phép chứng minh như sau. Ta sử dụng thực tế là ta có thể tạo một cơ sở \((z_1,\ldots,z_{n-1})\) cho không gian con \(\mathbf{L}\). Sau đó, ta có thể xây dựng một véctơ [latex]a[/latex] trực giao với tất cả các véctơ cơ sở này. Theo định nghĩa, \(\mathbf{L}\) là tập hợp các véctơ trực giao với [latex]a[/latex].
