Một chuẩn véctơ có thể được hiểu là một hàm gán một độ dài cho các véctơ.
Mọi phép đo độ dài hợp lý đều phải thỏa mãn các tính chất cơ bản sau: nó phải là một hàm lồi của đối số của nó (tức là, độ dài của một véctơ trung bình của hai véctơ phải luôn nhỏ hơn trung bình của các độ dài của chúng); nó phải có tính xác định dương (luôn không âm, và bằng không chỉ khi đối số là véctơ không), và bảo toàn phép co giãn dương (sao cho việc nhân một véctơ với một số dương sẽ co giãn chuẩn của nó một cách tương ứng).
Một cách chính thức, một chuẩn véctơ là một hàm [latex]f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/latex] thỏa mãn các tính chất sau.
Định nghĩa của một chuẩn véctơ
|
1. Tính thuần nhất dương: với mọi [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], [latex]\alpha \ge 0[/latex], ta có [latex]f(\alpha x) = \alpha f(x)[/latex]. 2. Bất đẳng thức tam giác: với mọi [latex]x, y \in \mathbb{R}^n[/latex], ta có [latex]\begin{align*} f(x+y) &\leq f(x)+f(y) \end{align*}[/latex] 3. Tính xác định: với mọi [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex], [latex]f(x)=0[/latex] suy ra [latex]x=0[/latex]. |
Một hệ quả của hai điều kiện đầu tiên là một chuẩn chỉ nhận các giá trị không âm, và do đó, hàm chuẩn véctơ là hàm lồi.
Các chuẩn phổ biến bao gồm cái gọi là các chuẩn [latex]l_p[/latex], trong đó [latex]p=1,2[/latex] hoặc [latex]p=\infty[/latex]:
[latex]\begin{align*} \|x\|_p &:= \left(\sum\limits_{i=1}^{n} |x_i|^p\right)^{1/p}, \end{align*}[/latex]
với quy ước rằng khi
[latex]\begin{align*} p = \infty, \quad \|x\|_\infty &= \max_{1\leq i \leq n} |x_i|. \end{align*}[/latex]
