|
Với hai véctơ bất kỳ [latex]x,y \in \mathbb{R}^n[/latex], ta có [latex]\begin{align*} x^Ty &\leq ||x||_2\cdot ||y||_2. \\ \end{align*}[/latex] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [latex]x,y[/latex] cộng tuyến. Nói cách khác: [latex]\begin{align*} (P) \quad \max\limits_{x: ||x||_2 \leq 1} x^Ty &= ||y||_2, \\ \end{align*}[/latex] với [latex]x[/latex] tối ưu được cho bởi [latex]x^* = y/||y||_2[/latex] nếu [latex]y[/latex] khác không. |
Chứng minh: Bất đẳng thức là tầm thường nếu một trong hai véctơ [latex]x,y[/latex] bằng không. Ta hãy giả sử cả hai đều khác không. Không mất tính tổng quát, ta có thể co giãn [latex]x[/latex] và giả sử nó có chuẩn Euclide đơn vị ([latex]||x||_2=1[/latex]). Trước hết, ta hãy chứng minh rằng
[latex]\begin{align*} x^Ty &\leq ||y||_2. \\ \end{align*}[/latex]
Ta xét đa thức
[latex]\begin{align*} p(t) &= ||tx-y||_2^2 = t^2 -2t(x^Ty) +y^Ty. \\ \end{align*}[/latex]
Do đa thức này không âm với mọi giá trị của [latex]t[/latex], biệt thức của nó là [latex]\Delta = (x^Ty)^2-y^Ty[/latex] không dương. Từ đó suy ra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Đối với kết quả thứ hai, gọi [latex]v(P)[/latex] là giá trị tối ưu của bài toán. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ngụ ý rằng [latex]v(P) \leq ||y||_2[/latex]. Để chứng minh rằng giá trị này đạt được (tức là nó bằng cận trên của nó), ta quan sát rằng nếu [latex]x = y/||y||_2[/latex], thì
[latex]\begin{align*} x^Ty &= \frac{y^Ty}{||y||_2} = ||y||_2. \\ \end{align*}[/latex]
Véctơ [latex]x= y/||y||_2[/latex] là khả thi đối với bài toán tối ưu hóa [latex](P)[/latex]. Điều này thiết lập một cận dưới cho giá trị của [latex](P)[/latex], [latex]v(P)[/latex]:
[latex]\begin{align*} ||y||_2 &\leq v(P) = \max\limits_{x: ||x||_2 \leq 1} x^Ty. \end{align*}[/latex]
