Ký hiệu [latex]x^i[/latex], [latex]i=1,2,3[/latex] là ba điểm đã biết và [latex]R_i[/latex] là các khoảng cách đo được đến bộ phát. Về mặt toán học, bài toán là giải hệ phương trình sau cho một điểm [latex]x[/latex] trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex],

[latex]\begin{align*} ||x-x^i||_2^2 &= R_i^2, \quad i=1,2,3. \end{align*}[/latex]

Viết chúng ra:

[latex]\begin{align*} x^Tx - 2x^Tx^i + ||x^i||_2^2 &= R_i^2, \quad i = 1,2,3. \end{align*}[/latex]

Đặt [latex]t := (1/2)x^Tx[/latex]. Các phương trình trên kéo theo

[latex]\begin{align*} t - x^Tx^i = \gamma_i := (1/2)(R_i^2-||x^i||_2^2), \quad i = 1,2,3. \end{align*}[/latex]

Sử dụng ký hiệu ma trận, với [latex]X = [x^1, x^2, x^3][/latex] là ma trận các điểm, và [latex]\mathbf{1}[/latex] là véctơ gồm toàn số một:

[latex]\begin{align*} X^Tx = t \mathbf{1} - \gamma. \end{align*}[/latex]

Giả sử ma trận vuông [latex]X[/latex] có hạng đầy đủ, tức là khả nghịch. Phương trình trên kéo theo rằng

[latex]\begin{align*} x = x(t) := X^{-T}( t \mathbf{1} - \gamma). \end{align*}[/latex]

Nói cách khác: điểm này nằm trên một đường thẳng đi qua [latex]x^0 := -(X^T)^{-1}\gamma[/latex] và có véctơ chỉ phương là [latex]v:=(X^T)^{-1}\mathbf{1}[/latex].

Khi đó ta có thể giải phương trình theo [latex]t[/latex]:

[latex]\begin{align*} x(t)^Tx(t) &= 2t. \end{align*}[/latex]

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo [latex]t[/latex]:

[latex]\begin{align*} (v^Tv) t^2 + 2 ((v^Tx^0) -1) t + ||x^0||_2^2 = 0 \end{align*}[/latex]

và có thể được giải dưới dạng tường minh. Các mặt cầu cắt nhau khi và chỉ khi có một nghiệm thực, không âm [latex]t[/latex]. Một cách tổng quát, nếu các mặt cầu có giao khác rỗng, sẽ có hai nghiệm dương, do đó có hai điểm trong phần giao. Điều này có thể hiểu được về mặt hình học: giao của hai mặt cầu là một đường tròn, và giao của một đường tròn với một mặt cầu thứ ba tạo ra hai điểm. Đường thẳng nối hai điểm đó chính là đường thẳng [latex]\{ x(t): t \in \mathbb{R} \}[/latex], như đã xác định ở trên.