14
14.1 Định nghĩa và giải thích
Định nghĩa
Một ánh xạ [latex]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m[/latex] là tuyến tính (tương ứng, affine) nếu và chỉ nếu mọi thành phần của nó là tuyến tính (tương ứng, affine). Định nghĩa chính thức mà chúng ta đã thấy ở đây cho các hàm được áp dụng nguyên văn cho các ánh xạ.
Với một ma trận [latex]m \times n[/latex] là [latex]A[/latex], chúng ta có thể liên kết một ánh xạ tuyến tính [latex]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m[/latex], với các giá trị là [latex]f(x)=A x[/latex]. Ngược lại, với bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào, chúng ta có thể liên kết một cách duy nhất một ma trận [latex]A[/latex] thỏa mãn [latex]f(x)=A x[/latex] cho mọi [latex]x[/latex].
Thật vậy, nếu các thành phần của [latex]f[/latex], [latex]f_i, i=1, \ldots, m[/latex], là tuyến tính, thì chúng có thể được biểu diễn dưới dạng [latex]f_i(x)=a_i^T x[/latex] với một số [latex]a_i \in \mathbb{R}^n[/latex]. Ma trận [latex]A[/latex] là ma trận có [latex]a_i^T[/latex] là hàng thứ [latex]i[/latex] của nó:
\[ f(x)=\left(\begin{array}{c} f_1(x) \\ \vdots \\ f_n(x) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_1^T x \\ \vdots \\ a_n^T x \end{array}\right)=A x, \quad \text { với } A:=\left(\begin{array}{c} a_1^T \\ \vdots \\ a_m^T \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n} . \]
Do đó, có một sự tương ứng một-một giữa các ma trận và các ánh xạ tuyến tính. Điều này mở rộng những gì chúng ta đã thấy đối với các vectơ, vốn có sự tương ứng một-một với các hàm tuyến tính.
Biểu diễn các ánh xạ affine thông qua tích ma trận-vectơ
Một hàm [latex]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m[/latex] là affine nếu và chỉ nếu nó có thể được biểu diễn thông qua tích ma trận nhân vectơ:
\[ f(x)=A x+b, \]
với một cặp [latex](A, b)[/latex] duy nhất nào đó, với [latex]A \in \mathbb{R}^{m \times n}[/latex] và [latex]b \in \mathbb{R}^m[/latex]. Hàm là tuyến tính nếu và chỉ nếu [latex]b=0[/latex]. Kết quả trên cho thấy rằng một ma trận có thể được xem như một ánh xạ (tuyến tính) từ không gian “đầu vào” [latex]\mathbb{R}^n[/latex] đến không gian “đầu ra” [latex]\mathbb{R}^m[/latex].
Giải thích
Xét một ánh xạ affine [latex]x \rightarrow y=A x+b[/latex]. Một phần tử [latex]A_{i j}[/latex] cho biết hệ số ảnh hưởng của [latex]x_j[/latex] lên [latex]y_i[/latex]. Theo nghĩa này, nếu [latex]A_{13} \gg A_{14}[/latex], chúng ta có thể nói rằng [latex]x_3[/latex] có ảnh hưởng lớn hơn nhiều đến [latex]y_1[/latex] so với [latex]x_4[/latex]. Hoặc, [latex]A_{24}=0[/latex] nói rằng [latex]y_2[/latex] hoàn toàn không phụ thuộc vào [latex]x_4[/latex]. Thường thì số hạng hằng số [latex]b=f(0)[/latex] được gọi là vectơ “lệch”.
14.2 Xấp xỉ tuyến tính cho ánh xạ phi tuyến
Chúng ta có thể xấp xỉ một ánh xạ bằng một ánh xạ tuyến tính (hoặc affine). Nếu [latex]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m[/latex] là khả vi, thì chúng ta có thể xấp xỉ các giá trị của [latex]f[/latex] gần một điểm cho trước [latex]x_0 \in \mathbb{R}^n[/latex] bằng một ánh xạ affine [latex]\tilde{f}[/latex]:
\[ f(x) \approx \tilde{f}(x):=f\left(x_0\right)+A\left(x-x_0\right), \]
trong đó [latex]A_{i j}=\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\left(x_0\right)[/latex] là đạo hàm của thành phần thứ [latex]i[/latex] của [latex]f[/latex] theo [latex]x_j[/latex] ([latex]A[/latex] được gọi là ma trận Jacobian của [latex]f[/latex] tại [latex]x_0[/latex]).
Xem thêm:
