11
- Ma trận vuông
- Ma trận đơn vị và ma trận chéo
- Ma trận tam giác
- Ma trận đối xứng
- Ma trận trực
- Dyads
11.1 Một số ma trận vuông đặc
Ma trận vuông là ma trận có cùng số hàng và số cột. Sau đây là các trường hợp quan trọng của ma trận vuông.
Ma trận đơn
Ma trận đơn vị [latex]n \times n[/latex] (thường được ký hiệu là [latex]I_{n}[/latex], hoặc đơn giản là [latex]I[/latex], nếu ngữ cảnh cho phép), có các số một trên đường chéo của nó và các số không ở những nơi khác. Nó là ma trận vuông, ma trận đường chéo và ma trận đối xứng. Ma trận này thỏa mãn [latex]A \dots I_{n}=A[/latex] cho mọi ma trận [latex]A[/latex] có [latex]n[/latex] cột, và [latex]I_{n}\dots B = B[/latex] cho mọi ma trận [latex]B[/latex] có [latex]n[/latex] hàng.
| Ví dụ 1:
Ma trận đơn vị [latex]3 \times 3[/latex], được ký hiệu là [latex]I_3[/latex], được cho bởi: \[I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\] Ma trận này có các số một trên đường chéo của nó và các số không ở những nơi khác. Khi nhân với bất kỳ ma trận [latex]3 \times 3[/latex] nào là [latex]A[/latex], tích [latex]AI_3[/latex] vẫn là [latex]A[/latex], và tương tự, [latex]I_3B = B[/latex] với bất kỳ ma trận [latex]B[/latex] nào có kích thước [latex]3 \times 3[/latex]. |
Ma trận đường chéo
Ma trận đường chéo là các ma trận vuông [latex]A[/latex] với [latex]A_{ij}=0[/latex] khi [latex]i \neq j[/latex]. Một ma trận đường chéo [latex]n \times n[/latex] là [latex]A[/latex] có thể được ký hiệu là [latex]A = \text{diag}(a)[/latex], với [latex]a \in \mathbb{R}^{n}[/latex] là vectơ chứa các phần tử trên đường chéo. Chúng ta cũng có thể viết: \[A = \begin{pmatrix} a_{1} & & \\ & \ddots & \\ & & a_{r} \end{pmatrix},\] trong đó, theo quy ước, các số không bên ngoài đường chéo không được viết.
Ma trận đối xứng
Ma trận đối xứng là các ma trận vuông thỏa mãn [latex]A_{ij}=A_{ji}[/latex] với mọi cặp [latex](i, j)[/latex].
| Ví dụ 2: |
| Ma trận
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 3/2 & 2 \\ 3/2 & 2 & 5/2 \\ 2 & 5/2 & 2 \end{pmatrix} \] là đối xứng. Ma trận \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 3/2 & 2 \\ 3/2 & 2 & \mathbf{5} \\ 2 & \mathbf{5/2} & 2 \end{pmatrix} \] thì không, vì nó không bằng chuyển vị của nó. |
Ma trận tam giác
Một ma trận vuông [latex]A[/latex] là ma trận tam giác trên nếu [latex]A_{ij} = 0[/latex] khi [latex]i > j[/latex].
Dưới đây là một vài ví dụ: \[A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}, \quad A_{2} = \begin{pmatrix} 3 & 8 & 3 \\ 0 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad A_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\]
Một ma trận là ma trận tam giác dưới nếu chuyển vị của nó là ma trận tam giác trên. Ví dụ: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 8 & -9 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.\]
Ma trận trực giao
Ma trận trực giao (hoặc ma trận unita) là các ma trận vuông, sao cho các cột tạo thành một cơ sở trực chuẩn. Nếu [latex]U = [u_{1},\dots,u_{n}][/latex] là một ma trận trực giao, thì \[u_{i}^{T}u_{j} = \begin{cases} 1 \text{ if } i=j \\ 0 \text{ otherwise.}\end{cases}.\] Do đó, [latex]U^{T}U = I_{n}[/latex]. Tương tự, [latex]UU^{T} = I_{n}[/latex].
Ma trận trực giao tương ứng với các phép quay hoặc phép đối xứng theo một hướng bảo toàn độ dài và góc. Thật vậy, với mọi vectơ [latex]x[/latex], \[||Ux||_{2}^{2} = (Ux)^{T}(Ux) = x^{T}U^{T}Ux=x^{T}x=||x||_{2}^{2}.\] Do đó, ánh xạ tuyến tính cơ bản [latex]x \rightarrow Ux[/latex] bảo toàn độ dài (được đo bằng chuẩn Euclid).
Điều này đôi khi được gọi là tính bất biến quay của chuẩn Euclid. Ngoài ra, các góc được bảo toàn: nếu [latex]x, y[/latex] là hai vectơ có chuẩn đơn vị, thì góc [latex]\theta[/latex] giữa chúng thỏa mãn [latex]\cos \theta = x^{T}y[/latex], trong khi góc [latex]\theta'[/latex] giữa các vectơ quay [latex]x' = Ux, y' = Uy[/latex] thỏa mãn [latex]\cos \theta'=(x')^{T}y'[/latex]. Vì: \[(Ux)^{T}(Uy)=x^{T}U^{T}Uy=x^{T}y,\] chúng ta nhận được các góc là như nhau. (Điều ngược lại cũng đúng: bất kỳ ma trận vuông nào bảo toàn độ dài và góc đều là trực giao.)
Về mặt hình học, ma trận trực giao tương ứng với các phép quay (xung quanh một điểm) hoặc phản xạ (xung quanh một đường thẳng đi qua gốc tọa độ).
| Ví dụ 3: Một ma trận trực giao [latex]2 \times 2[\lat |
| Ma trận \[U = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\] là trực giao. Vectơ [latex]x=(2, 1)[/latex] được biến đổi bởi ma trận trực giao trên thành:
\[Ux = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}.\] Do đó, [latex]U[/latex] tương ứng với một phép quay một góc [latex]45[/latex] độ ngược chiều kim đồng hồ. |
Xem thêm:
11.2 Dyad
Dyad là một lớp ma trận đặc biệt, còn được gọi là ma trận hạng một.
Định nghĩa
Một ma trận [latex]A \in \mathbb{R}^{m \times n}[/latex] là một \textit{dyad} nếu nó có dạng [latex]A = uv^{T}[/latex] với một số vectơ [latex]u \in \mathbb{R}^{m}, v \in \mathbb{R}^{n}[/latex]. Dyad tác động lên một vectơ đầu vào [latex]x \in \mathbb{R}^{n}[/latex] như sau:
\[Ax=(uv^{T})x=(v^{T}x)u.\]
Đối với ánh xạ tuyến tính cho dyad, đầu ra luôn chỉ theo cùng một hướng [latex]u[/latex] trong không gian đầu ra ([latex]\mathbb{R}^{m}[/latex]), bất kể đầu vào [latex]x[/latex] là gì. Do đó, đầu ra luôn là một phiên bản tỷ lệ đơn giản của [latex]u[/latex]. Lượng tỷ lệ phụ thuộc vào vectơ [latex]v[/latex], thông qua hàm tuyến tính [latex]x \rightarrow v^{T}x[/latex].
Xem thêm: Mô hình một yếu tố của dữ liệu tài chính.
Dyad chuẩn hoá
Chúng ta có thể chuẩn hóa dyad bằng cách giả sử rằng cả [latex]u, v[/latex] đều có chuẩn Euclid đơn vị, và chia cho một thừa số thích hợp. Tức là, bất kỳ dyad nào cũng có thể được viết ở dạng \textit{chuẩn hóa}:
\[A = uv^{T} = (||u||_{2}\cdot||v||_{2})\cdot \left(\dfrac{u}{||u||_{2}}\right)\left(\dfrac{v}{||v||_{2}}\right)^{T} = \sigma\tilde{u}\tilde{v}^{T},\] trong đó [latex]\sigma>0[/latex], và [latex]||\tilde{u}||_{2}=||\tilde{v}||_{2}=1[/latex].
