10
10.1. Tích ma trận với vectơ
Định nghĩa
Chúng ta định nghĩa \textit{tích ma trận-vectơ} giữa một ma trận [latex]m \times n[/latex] và một vectơ [latex]n[/latex]-chiều [latex]x[/latex], và ký hiệu là [latex]Ax[/latex], là vectơ [latex]m[/latex]-chiều với thành phần thứ [latex]i[/latex] là:
\[(Ax)_{i}=\sum_{j=1}^{n}A_{ij}x_{j}, i=1,\dots,m.\]
 |
Hình bên trái cho thấy một ví dụ tượng trưng với [latex]n=2[/latex] và [latex]m=3[/latex]. Chúng ta có [latex]y=Ax[/latex], tức là: |
| \[y_{1}=A_{11}x_{1}+A_{12}x_{2},\] | |
| \[y_{2}=A_{21}x_{1}+A_{22}x_{2},\] | |
| \[y_{3}=A_{31}x_{1}+A_{32}x_{2}.\] |
Biểu như tổ hợp tuyến tính của các cột
Nếu các cột của [latex]A[/latex] được cho bởi các vectơ [latex]a_{i}, i=1,\dots,n[/latex] sao cho [latex]A=(a_{1},\dots, a_{n})[/latex], thì [latex]Ax[/latex] có thể được diễn giải như là một tổ hợp tuyến tính của các cột này, với các trọng số được cho bởi vectơ [latex]x[/latex]:
\[Ax=\sum_{i=1}^{n}x_{i}a_{i}.\]
 |
Trong ví dụ ta có [latex]y=Ax[/latex], tức là: |
| \[ y = x_{1} \begin{pmatrix} A_{11} \\ A_{21} \\ A_{31} \end{pmatrix}
+ x_{2} \begin{pmatrix} A_{12} \\ A_{22} \\ A_{32} \end{pmatrix}.\] |
|
Xem thêm:
Biểu diễn như tích vô hướng với các hàng
Ngoài ra, nếu các hàng của [latex]A[/latex] là các vectơ hàng [latex]a_{i}^{T}, i=1,\dots,m[/latex]:
\[Ax = \begin{pmatrix} a_{1}^{T}x \\ \vdots \\ a_{m}^{T}x \end{pmatrix}.\]
 |
Trong ví dụ ta có [latex]y=Ax[/latex], tức là: |
| \[y_{1} =\begin{pmatrix} A_{11} \\ A_{12} \end{pmatrix}^{T} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = A_{11}x_{1} + A_{12}x_{2}\] | |
| \[y_{2} =\begin{pmatrix} A_{21} \\ A_{22} \end{pmatrix}^{T} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = A_{21}x_{1} + A_{22}x_{2}\] | |
| \[y_{3} =\begin{pmatrix} A_{31} \\ A_{32} \end{pmatrix}^{T} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = A_{31}x_{1} + A_{32}x_{2}\] |
Tích trái
Nếu [latex]z \in \mathbb{R}^{m}[/latex], thì ký hiệu [latex]z^{T}A[/latex] là vectơ hàng có kích thước [latex]n[/latex] bằng chuyển vị của vectơ cột [latex]A^{T}z \in \mathbb{R}^{n}[/latex]. Tức là: \[(z^{T}A)_{j} = \sum_{i=1}^{m} A_{ij}z_{i}, j=1,\dots,n.\]
Ví dụ: Quay lại ví dụ về mạng, liên quan đến ma trận liên thuộc [latex]m \times n[/latex]. Chúng ta nhận thấy rằng, theo cấu trúc, các cột của [latex]A[/latex] có tổng bằng không, có thể viết gọn là [latex]1^{T}A=0[/latex], hoặc [latex]A^{T}1=0[/latex].
10.2. Tích ma trận với ma trận
Định nghĩa
Chúng ta có thể mở rộng tích ma trận-vectơ thành tích ma trận-ma trận, như sau. Nếu [latex]A \in \mathbb{R}^{m \times n}[/latex] và [latex]B \in \mathbb{R}^{n \times p}[/latex], ký hiệu [latex]AB[/latex] biểu thị ma trận [latex]m \times p[/latex] với phần tử [latex]i, j[/latex] được cho bởi: \[(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}.\] Chuyển vị một tích sẽ thay đổi thứ tự, sao cho [latex](AB)^{T}=B^{T}A^{T}[/latex].
Diễn giải theo cột
Nếu các cột của [latex]B[/latex] được cho bởi các vectơ [latex]b_{i}[/latex], với [latex]i=1, \dots, p[/latex], sao cho [latex]B=[b_{1}, \dots, b_{p}][/latex], thì [latex]AB[/latex] có thể được viết là: \[AB = A \begin{pmatrix}b_{1} & \dots & b_{p} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}Ab_{1} & \dots & Ab_{p} \end{pmatrix}.\] Nói cách khác, [latex]AB[/latex] là kết quả của việc biến đổi mỗi cột [latex]b_{i}[/latex] của [latex]B[/latex] thành [latex]Ab_{i}[/latex].
Diễn giải theo
Tích ma trận-ma trận cũng có thể được diễn giải như một phép toán trên các hàng của [latex]A[/latex]. Thật vậy, nếu [latex]A[/latex] được cho bởi các hàng [latex]a_{i}^{T}, i = 1, \dots, m[/latex] thì [latex]AB[/latex] là ma trận thu được bằng cách biến đổi từng hàng này thông qua [latex]B[/latex], thành [latex]a_{i}^{T}B, i = 1, \dots, m[/latex]: \[AB = \begin{pmatrix}a_{1}^{T} \\ \vdots \\ a_{m}^{T}\end{pmatrix}B= \begin{pmatrix}a_{1}^{T}B \\ \vdots \\ a_{m}^{T}B\end{pmatrix}.\] (Lưu ý rằng [latex]a_{i}^{T}B[/latex] thực sự là các vectơ hàng, theo các quy tắc ma trận nhân vectơ.)
10.3. Tích Ma Trận Khối
Đại số ma trận tổng quát hóa cho các khối, miễn là kích thước khối phù hợp. Để minh họa điều này, hãy xem xét tích ma trận-vectơ giữa một ma trận [latex]m \times n[/latex] là [latex]A[/latex] và một vectơ [latex]n[/latex]-chiều là [latex]x[/latex], trong đó [latex]A, x[/latex] được phân vùng thành các khối như sau: \[A = \begin{pmatrix} A_{1} & A_{2} \end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}\] trong đó [latex]A_{i}[/latex] là [latex]m \times n_{i}[/latex], [latex]x_{i} \in \mathbb{R}^{n}[/latex], [latex]i=1, 2[/latex], [latex]n_{1}+n_{2}=n[/latex]. Khi đó, [latex]Ax = A_{1}x_{1} + A_{2}x_{2}[/latex]. Một cách tượng trưng, nó giống như chúng ta tạo ra tích “vô hướng” giữa “vectơ hàng” [latex](A_{1}, A_{2})[/latex] và vectơ cột [latex](x_{1}, x_{2})[/latex]!
Tương tự, nếu một ma trận [latex]n \times p[/latex] là [latex]B[/latex] được phân vùng thành hai khối [latex]B_{i}[/latex], mỗi khối có kích thước [latex]n_{i}, i=1,2[/latex], với [latex]n_{1}+n_{2}=n[/latex], thì: \[AB = \begin{pmatrix} A_{1} & A_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{1} \\ B_{2} \end{pmatrix} = A_{1}B_{1} + A_{2}B_{2}.\] Một lần nữa, một cách tượng trưng, chúng ta áp dụng các quy tắc tương tự như đối với tích vô hướng — ngoại trừ việc bây giờ kết quả là một ma trận.
Ví dụ: Ma trận Gram.
Cuối cùng, ta tìm hiểu về tích ngoài. Giả sử ma trận [latex]A[/latex] được phân vùng theo hàng và ma trận [latex]B[/latex] được phân vùng theo cột. Do đó, chúng ta có: \[A = \begin{pmatrix} A_{1} \\ A_{2} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} B_{1} & B_{2} \end{pmatrix} .\]
Các kích thước của các ma trận này phải nhất quán sao cho [latex]A_{1}, A_{2}[/latex] có kích thước lần lượt là [latex]m_{1} \times n[/latex] và [latex]m_{2} \times n[/latex], và [latex]B_{1}, B_{2}[/latex] có kích thước lần lượt là [latex]n \times p_{1}[/latex] và [latex]n \times p_{2}[/latex]. Các kích thước của các ma trận kết quả [latex]A_{1}B_{1}, A_{1}B_{2}, A_{2}B_{1}, A_{2}B_{2}[/latex] sẽ lần lượt là [latex]m_{1} \times p_{1}, m_{1} \times p_{2}, m_{2} \times p_{1}, m_{2} \times p_{2}[/latex]. Khi đó, tích [latex]C = AB[/latex] có thể được biểu diễn theo các khối, như sau: \[C = AB = \begin{pmatrix} A_{1} \\ A_{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{1} & B_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{1}B_{1} & A_{1}B_{2} \\ A_{2}B_{1} & A_{2}B_{2} \end{pmatrix} .\]
10.4. Vết và tích vô hướng
Vết
Vết của một ma trận vuông [latex]n \times n[/latex] là [latex]A[/latex], được ký hiệu là [latex]TrA[/latex], là tổng của các phần tử trên đường chéo của nó: \[{\bf Tr}A = \sum_{i=1}^{n}A_{ii}.\]
Một số tính chất quan trọng:
- Vết của chuyển vị: Vết của một ma trận vuông bằng với vết của chuyển vị của nó.
- Tính giao hoán của tác động vết: với hai ma trận bất kỳ [latex]A \in \mathbb{R}^{m \times n}[/latex] và [latex]B \in \mathbb{R}^{n \times m}[/latex], chúng ta có: \[{\bf Tr}(AB) = {\bf Tr}(BA).\]
Tích vô hướng giữa các ma trận
Chúng ta có thể định nghĩa tích vô hướng giữa hai ma trận [latex]m \times n[/latex] là [latex]A, B[/latex] thông qua: \[\langle A,B \rangle = {\bf Tr}(A^{T}B) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}B_{ij}.\] Định nghĩa trên là đối xứng: chúng ta có: \[\langle A,B \rangle = {\bf Tr}(A^{T}B) = {\bf Tr}(A^{T}B)^{T} = {\bf Tr}(B^{T}A) = \langle B,A \rangle.\]
Ký hiệu của chúng ta đồng nhất với định nghĩa của tích vô hướng giữa hai vectơ, trong đó chúng ta chỉ đơn giản xem một vectơ trong [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex] là một ma trận trong [latex]\mathbb{R}^{n \times 1}[/latex]. Chúng ta có thể diễn giải tích vô hướng ma trận như là tích vô hướng vectơ giữa hai vectơ dài có độ dài [latex]mn[/latex] mỗi vectơ, thu được bằng cách xếp chồng tất cả các cột của [latex]A, B[/latex] lên trên nhau.
