9
9.1. Ma trận như là tập hợp các vectơ cột
Ma trận có thể được xem đơn giản như một tập hợp các vectơ cột có cùng kích thước, tức là một tập hợp các điểm trong một không gian đa chiều. Một ma trận có thể được mô tả như sau: cho [latex]n[/latex] vectơ [latex]a_{1}, \dots, a_{n}[/latex] trong [latex]\mathbb{R}^{m}[/latex], chúng ta có thể định nghĩa ma trận [latex]m \times n[/latex] là [latex]A[/latex] với các [latex]a_{j}[/latex]‘s là các cột: \[A= \begin{pmatrix} a_{1} & \dots & a_{n} \end{pmatrix} .\] Về mặt hình học, [latex]A[/latex] biểu diễn [latex]n[/latex] điểm trong một không gian [latex]m[/latex] chiều. Ký hiệu [latex]\mathbb{R}^{m \times n}[/latex] biểu thị tập hợp các ma trận [latex]m \times n[/latex]. Theo quy ước của chúng ta, một vectơ cột trong [latex]\mathbb{R}^{m}[/latex] do đó là một ma trận trong [latex]\mathbb{R}^{m \times 1}[/latex], trong khi một vectơ hàng trong [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex] là một ma trận trong [latex]\mathbb{R}^{1 \times n}[/latex].
9.2. Chuyển vị
Ký hiệu [latex]A_{ij}[/latex] biểu thị phần tử của [latex]A[/latex] ở hàng [latex]i[/latex] và cột [latex]j[/latex]. Ma trận chuyển vị của ma trận [latex]A[/latex], được ký hiệu là [latex]A^{T}[/latex], là ma trận có phần tử [latex]A_{ji}[/latex] ở vị trí [latex](i, j)[/latex], với [latex]i = 1, \dots, m[/latex] và [latex]j = 1, \dots, n[/latex].
9.3. Ma trận như là tập hợp các hàng
Tương tự, chúng ta có thể mô tả một ma trận theo cách hàng: cho [latex]m[/latex] vectơ [latex]b_{1}, \dots, b_{m}[/latex] trong [latex]\mathbb{R}^{n}[/latex], chúng ta có thể định nghĩa ma trận [latex]m \times n[/latex] là [latex]B[/latex] với các vectơ chuyển vị [latex]b_{i}^{T}[/latex] là các hàng: \[B = \begin{pmatrix} b_{1}^{T} \\[0.5em] b_{2}^{T} \\[0.5em] \vdots \\[0.5em] b_{m}^{T} \end{pmatrix}.\] Về mặt hình học, [latex]B[/latex] biểu diễn [latex]m[/latex] điểm trong một không gian [latex]n[/latex] chiều.
| Ví dụ 1:
Xét ma trận [latex]3 \times 2[/latex] \[A = \begin{pmatrix} 3 & 4.5 \\ 2 & 1.2 \\-0.1 & 8.2 \end{pmatrix}.\] Ma trận có thể được hiểu là tập hợp của hai vectơ cột: [latex]A=(a_{1}, a_{2})[/latex], trong đó các [latex]a_{j}[/latex] chứa các cột của [latex]A[/latex]: \[a_{1}=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\-0.1\end{pmatrix},\quad \quad a_{2}=\begin{pmatrix} 4.5\\ 1.2\\8.2\end{pmatrix}.\] Về mặt hình học, [latex]A[/latex] biểu diễn [latex]2[/latex] điểm trong một không gian [latex]3[/latex] chiều. Ngoài ra, chúng ta có thể hiểu [latex]A[/latex] như một tập hợp của 3 vectơ hàng trong [latex]\mathbb{R}^2[/latex]. \[A = \begin{pmatrix} b_{1}^{T}\\[0.5em]b_{2}^{T}\\[0.5em]b_{3}^{T} \end{pmatrix}.\] trong đó các [latex]b_{i}[/latex]‘s, [latex]i=1, 2, 3[/latex] chứa các hàng của [latex]A[/latex]: \[b_{1}=\begin{pmatrix} 3\\ 4.5\end{pmatrix},\quad \quad b_{2}=\begin{pmatrix} 2\\ 1.2\end{pmatrix},\quad \quad b_{3}=\begin{pmatrix} -0.1\\ 8.2\end{pmatrix}.\] Về mặt hình học, [latex]A[/latex] biểu diễn 3 điểm trong một không gian 2 chiều. |
Xem thêm:
9.4. Ma trận thưa
Trong nhiều ứng dụng, người ta phải xử lý các ma trận thưa rất lớn, tức là ma trận có nhiều số không. Chúng ta sử dụng quy ước lưu trữ thưa để biểu diễn ma trận.
Một trong những định dạng phổ biến là liệt kê các phần tử khác không và các vị trí [latex](i, j)[/latex] liên quan của chúng trong ma trận.
