• Không gian con
• Phép chiếu, tích vô hướng, góc hợp giữa hai véctơ
• Trực giao hoá
• Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tổng quát
• Các hàm tuyến tính

8.1. Không gian con

1. Xét tập [latex]{\bf S}[/latex] các điểm sao cho:
   [latex]\begin{align*}x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 0, \ 3x_1 + 2x_2 + x_3 &= 0.\end{align*}[/latex]
   Chứng minh rằng [latex]{\bf S}[/latex] là một không gian con. Xác định chiều của nó và tìm một cơ sở cho nó. [latex]\[/latex]

2. Xét tập trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex], được xác định bởi phương trình:
   [latex]\begin{align*}P:={x \in \mathbb{R}^3: x_1 + 2x_2 +3x_3 = 1}.\end{align*}[/latex]
   a. Chứng minh rằng tập [latex]P[/latex] là một không gian con affine có chiều [latex]2[/latex]. Để kết thúc, hãy biểu diễn nó dưới dạng:
   [latex]\begin{align*}x^0 + {\bf span}(x^1, x^2)\end{align*}[/latex]
   trong đó [latex]x^0 \in P[/latex] và [latex]x^1, x^2[/latex] là các vectơ độc lập.
   b. Tìm khoảng cách Euclid nhỏ nhất từ [latex]0[/latex] đến tập [latex]P[/latex]. Tìm một điểm đạt được khoảng cách nhỏ nhất. (Gợi ý: sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chứng minh rằng điểm có khoảng cách nhỏ nhất tỉ lệ với [latex]a:=(1, 2, 3)[/latex].)

8.2. Phép chiếu, tích vô hướng, góc hợp giữa hai véctơ

1. Tìm phép chiếu [latex]z[/latex] của vectơ [latex]x=(2, 1)[/latex] lên đường thẳng đi qua [latex]x_0 = (1,2)[/latex] và có hướng được cho bởi vectơ [latex]u = (1, 1)[/latex].[latex]\[/latex]

2. Tìm phép chiếu Euclid của một điểm [latex]x^0 \in \mathbb{R}^n[/latex] lên một siêu phẳng:
   [latex]\begin{align*}
   {\bf P} ={x: a^Tx= b},
   \end{align*}[/latex]
   trong đó [latex]a \in \mathbb{R}^n[/latex] và [latex]b \in \mathbb{R}[/latex] được cho trước.[latex]\[/latex]

3. Xác định góc giữa hai vectơ sau:
   [latex]\begin{align*}x &= \begin{pmatrix} 1\ 2 \ 3 \end{pmatrix}, !!!!!!!!!!!!!!!!!! & y &= \begin{pmatrix} 3 \ 2 \ 1 \end{pmatrix} \end{align*}[/latex]
   Hai vectơ này có độc lập tuyến tính không?

8.3. Trực giao hoá

Cho [latex]x, y \in \mathbb{R}^n[/latex] là hai vectơ có chuẩn đơn vị, tức là sao cho [latex]||x||_2 = ||y||_2 = 1[/latex]. Chứng minh rằng các vectơ [latex]x-y[/latex] và [latex]x+y[/latex] trực giao. Sử dụng điều này để tìm một cơ sở trực giao cho không gian con sinh bởi [latex]x[/latex] và [latex]y[/latex].

8.4. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tổng quát

1. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đúng cho bất kỳ vectơ [latex]x[/latex] nào:
   [latex]\begin{align*}||x||_\infty \leq ||x||1 \leq n||x||\infty.\end{align*}[/latex]

2. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau đúng cho bất kỳ vectơ nào:
   [latex]\begin{align*}||x||_2 \leq ||x||_1 \leq \sqrt{n} ||x||_2\end{align*}[/latex]
   Gợi ý: sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho bất đẳng thức thứ hai.

3. Trong một phiên bản tổng quát của các bất đẳng thức trên, chứng minh rằng đối với bất kỳ vectơ khác không [latex]x[/latex] nào:
   [latex]\begin{align*}1 \leq {\bf Card}(x) \leq \frac{||x||_1^2}{||x||_2^2}\end{align*}[/latex]
   trong đó [latex]{\bf Card}(x)[/latex] là lực lượng của vectơ [latex]x[/latex], được định nghĩa là số phần tử khác không trong [latex]x[/latex]. Đối với những vectơ [latex]x[/latex] nào thì đạt được cận trên?

8.5. Hàm tuyến tính

1. Đối với một vectơ [latex]x[/latex] có [latex]n[/latex] chiều, với [latex]n=2m-1[/latex] lẻ, chúng ta định nghĩa trung vị của [latex]x[/latex] là [latex]x_m[/latex]. Bây giờ xét hàm [latex]f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/latex], với các giá trị:
   [latex]\begin{align*}f(x) = x_m - \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i.\end{align*}[/latex]
   Biểu diễn [latex]f[/latex] dưới dạng một tích vô hướng, tức là tìm [latex]a \in \mathbb{R}^n[/latex] sao cho [latex]f(x) = a^T x[/latex] cho mọi [latex]x[/latex]. Tìm một cơ sở cho tập hợp các điểm [latex]x[/latex] sao cho [latex]f(x) = 0[/latex]. [latex]\[/latex]

2. Đối với [latex]\alpha \in \mathbb{R}^2[/latex], chúng ta xét hàm “lũy thừa” [latex]f: \mathbb{R}_{++}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/latex], với các giá trị:
   [latex]\begin{align*}f(x) = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2}.\end{align*}[/latex]
   Biện minh cho phát biểu: “các hệ số [latex]\alpha_i[/latex] cung cấp tỷ lệ giữa sai số tương đối trong [latex]f[/latex] với sai số tương đối trong [latex]x_i[/latex]“. [latex]\[/latex]

3. Tìm gradient của hàm [latex]f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/latex] cho khoảng cách từ một điểm cho trước [latex]p \in \mathbb{R}^2[/latex] đến một điểm [latex]x \in \mathbb{R}^2[/latex].