Định lý
|
|
Chứng minh: Cho [latex]A = U\Lambda U^T[/latex] là phép phân tích giá trị riêng đối xứng của [latex]A[/latex], trong đó [latex]\Lambda = \mathbf{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)[/latex]. Dạng toàn phương có thể được viết lại là:
[latex]q(x) = x^T(U\Lambda U^T)x = (U^Tx)^T\Lambda(U^Tx) = \sum_{i=1}^n \lambda_i(u_i^Tx)^2.[/latex]
- Trường hợp [latex]q(x)[/latex] là nửa xác định dương:
- Nếu mọi giá trị riêng [latex]\lambda_i \ge 0[/latex], thì [latex]q(x)[/latex] là một tổng của các số hạng không âm ([latex]\lambda_i \ge 0[/latex] và [latex](u_i^Tx)^2 \ge 0[/latex]), do đó [latex]q(x) \ge 0[/latex] với mọi [latex]x[/latex].
- Ngược lại, giả sử [latex]q(x) \ge 0[/latex] với mọi [latex]x[/latex]. Nếu có một giá trị riêng [latex]\lambda_i < 0[/latex], ta có thể chọn [latex]x = u_i[/latex] (véctơ riêng tương ứng). Khi đó, [latex]q(u_i) = \lambda_i \|u_i\|_2^2 = \lambda_i < 0[/latex], điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vì vậy, mọi giá trị riêng phải không âm.
2. Trường hợp [latex]q(x)[/latex] là xác định dương
- Nếu mọi giá trị riêng [latex]\lambda_i > 0[/latex], thì [latex]q(x) = \sum \lambda_i(u_i^Tx)^2[/latex] là một tổng của các số hạng không âm. Tổng này bằng không khi và chỉ khi mỗi số hạng bằng không. Vì [latex]\lambda_i > 0[/latex], điều này đòi hỏi [latex]u_i^Tx = 0[/latex] với mọi [latex]i[/latex], hay [latex]U^Tx=0[/latex]. Do [latex]U[/latex] khả nghịch, điều này suy ra [latex]x=0[/latex]. Do đó, [latex]q(x) > 0[/latex] với mọi [latex]x \ne 0[/latex].
- Ngược lại, giả sử [latex]q(x) > 0[/latex] với mọi [latex]x \ne 0[/latex]. Nếu có một giá trị riêng [latex]\lambda_i \le 0[/latex], ta có thể chọn [latex]x=u_i[/latex]. Khi đó, [latex]q(u_i) = \lambda_i \le 0[/latex], điều này mâu thuẫn với giả thiết (vì [latex]u_i \ne 0[/latex]). Vì vậy, mọi giá trị riêng phải dương.
