3.1. Định nghĩa

Xét một đường thẳng trong [latex]\mathbb{R}^n[/latex] đi qua [latex]x_0 \in \mathbb{R}^n[/latex] và có hướng [latex]u \in \mathbb{R}^n[/latex]:

[latex]\begin{align*} \{x_0 + tu: t \in \mathbb{R}\} \end{align*}[/latex]

Ví dụ 1: Một đường thẳng trong [latex]\mathbb{R}^2[/latex] đi qua điểm [latex]x_0 = (0,1)[/latex], và có hướng [latex]u=(0.8944, 0.4472)[/latex].

Phép chiếu của một điểm [latex]x[/latex] lên một đường thẳng là một véctơ [latex]z[/latex] nằm trên đường thẳng đó, và gần nhất đến [latex]x[/latex] (theo chuẩn Euclid). Phép chiếu liên hệ tới một bài toán đơn giản trong tối ưu:

[latex]\begin{align*} \min\limits_{t} ||x-(x_0+tu)||_2 \end{align*}[/latex]

Vấn đề cụ thể này là một phần của một lớp bài toán tối ưu tổng quát được gọi là bình phương tối thiểu.. Nó cũng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu Euclid trên một tập hợp tổng quát.

	Ví dụ 2:Phép chiếu của vector [latex]x=(1.6, 2.28)[/latex] lên một đường thẳng đi qua gốc tọa độ ([latex]x_0 = 0[/latex]) và có hướng (đã chuẩn hóa) [latex]u = (0.8944, 0.4472)[/latex].
	Véctơ [latex]x-z[/latex] vuông góc với đường thẳng, do đó [latex]z = tu[/latex], với [latex]t = x^Tu = 2.0035[/latex]. Bất kỳ điểm nào khác trên đường thẳng đều ở xa điểm [latex]x[/latex] hơn so với hình chiếu [latex]z[/latex] của nó.

3.2. Biểu thức dạng đóng của tích vô hướng

Giả sử rằng [latex]u[/latex] đã được chuẩn hóa, sao cho [latex]||u||_2=1[/latex], hàm mục tiêu của bài toán chiếu có dạng, sau khi bình phương:
[latex]\begin{align*} ||x-x_0-tu||_2^2 = t^2 - 2tu^T(x-x_0) + ||x-x_0||_2^2 = (t-u^T(x-x_0))^2 + \text{{hằng số}} \end{align*}[/latex]
Như vậy, nghiệm tối ưu của bài toán chiếu là
[latex]\begin{align*} t^* = u^T(x-x_0) \end{align*}[/latex]
và biểu thức cho vector được chiếu là
[latex]\begin{align*} z^* = x_0 + t^*u = x_0 + u^T(x-x_0)u \end{align*}[/latex]

Tích vô hướng [latex]u^T(x-x_0)[/latex] là thành phần của [latex]x-x_0[/latex] dọc theo [latex]u[/latex].

Trong trường hợp khi [latex]u[/latex] không được chuẩn hóa, biểu thức được thu được bằng cách thay thế [latex]u[/latex] bằng [latex]u/||u||_2[/latex]:

[latex]\begin{align*} z^* = x_0 + t^*u = x_0 + \frac{u^T(x-x_0)}{u^T u}u \end{align*}[/latex]

Bây giờ chúng ta có thể giải thích tích vô hướng giữa hai vector khác không [latex]x, u[/latex], bằng cách áp dụng kết quả suy luận trước đó vào phép chiếu của [latex]x[/latex] lên đường thẳng [latex]{\bf L}[/latex] có hướng [latex]u[/latex] đi qua gốc tọa độ. Nếu [latex]u[/latex] được chuẩn hóa ([latex]||u||_2 = 1[/latex]), thì phép chiếu của [latex]x[/latex] lên [latex]{\bf L}[/latex] là [latex]z^* = (u^T x)u[/latex]. Độ dài của nó là [latex]||z^*||_2 = |u^Tx|[/latex]. (Xem hình trên từ Ví dụ 2.)

Nói chung, tích vô hướng [latex]u^T x[/latex] đơn giản là thành phần của [latex]x[/latex] dọc theo hướng đã chuẩn hóa [latex]u/||u||_2[/latex] được xác định bởi [latex]u[/latex].