Nhắc lại rằng hạng của một ma trận là số chiều của không gian ảnh của nó. Một ma trận hạng một là ma trận có hạng bằng một. Những ma trận như vậy cũng được gọi là dyad.
Ta có thể biểu diễn mọi ma trận hạng một dưới dạng tích ngoài.
Định lý: biểu diễn tích ngoài của một ma trận hạng một
|
Mọi ma trận hạng một [latex]A \in \mathbb{R}^{m \times n}[/latex] đều có thể được viết dưới dạng một ‘‘tích ngoài’’, hay dyad: $$ trong đó \(p \in \mathbb{R}^{m}, \; q \in \mathbb{R}^{n}\). |
Diễn giải của ánh xạ tuyến tính tương ứng [latex]x \rightarrow y = Ax[/latex] đối với một ma trận hạng một [latex]A[/latex] là đầu ra [latex]y[/latex] luôn cùng phương với [latex]p[/latex], với hệ số tỉ lệ là một hàm tuyến tính của [latex]x: x \rightarrow q^Tx[/latex].
Ta luôn có thể co giãn các véctơ [latex]p[/latex] và [latex]q[/latex] để biểu diễn [latex]A[/latex] dưới dạng
$$A = \sigma u v^T,$$
trong đó [latex]u \in \mathbb{R}^{m}[/latex], [latex]v \in \mathbb{R}^{n}[/latex], với [latex]\|u\|_2=\|v\|_2=1,[/latex] và [latex]\sigma > 0[/latex].
Diễn giải cho biểu thức trên là kết quả của ánh xạ [latex]x \rightarrow y = Ax[/latex] đối với một ma trận hạng một [latex]A[/latex] có thể được phân tách thành ba bước:
- chiếu [latex]x[/latex] lên trục [latex]v[/latex], thu được một số [latex]v^Tx[/latex];
- nhân số đó với một số dương [latex]\sigma[/latex];
- tính tích vô hướng [latex]\sigma(v^Tx)[/latex]) để thu được một véctơ tỉ lệ với [latex]u[/latex].
