Lợi nhuận của danh mục là tích vô hướng [latex]R(x) := r^Tx[/latex]. Ta không biết trước véctơ lợi nhuận [latex]r[/latex]. Ta giả định rằng ta biết một dự đoán hợp lý [latex]\hat{r}[/latex] của [latex]r[/latex]. Dĩ nhiên, ta không thể chỉ dựa vào véctơ [latex]\hat{r}[/latex] để đưa ra quyết định, vì các giá trị thực tế trong [latex]r[/latex] có thể dao động quanh [latex]\hat{r}[/latex]. Ta có thể xem xét hai cách đơn giản để mô hình hóa sự bất định của [latex]r[/latex], dẫn đến các bài toán tối ưu hóa tương tự.

Đánh đổi trung bình-phương sai

Cách tiếp cận đầu tiên giả định rằng [latex]r[/latex] là một biến ngẫu nhiên, với trung bình đã biết là [latex]\hat{r}[/latex] và ma trận hiệp phương sai [latex]\Sigma[/latex]. Nếu các giá trị trong quá khứ [latex]r_1, \ldots, r_N[/latex] của các tỷ suất sinh lợi đã được biết, ta có thể sử dụng các ước lượng sau:

\[ \hat{r}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N r_i, \quad \Sigma=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N\left(r_i-\hat{r}\right)\left(r_i-\hat{r}\right)^T . \]

Lưu ý rằng, trong thực tế, các ước lượng trên cho trung bình [latex]\hat{r}[/latex] và ma trận hiệp phương sai [latex]\Sigma[/latex] là rất không đáng tin cậy, và nên sử dụng các ước lượng tinh vi hơn.

Khi đó, giá trị trung bình của lợi nhuận danh mục [latex]R(x)[/latex] có dạng [latex]\hat{R}(x)=\hat{r}^T x[/latex], và phương sai của nó là

\[ \sigma(x)^2:=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N\left(r_i^T x-\hat{r}^T x\right)^2=x^T \Sigma x . \]

Ta có thể thực hiện một sự đánh đổi giữa ‘‘hiệu suất’’ của danh mục, được đo bằng lợi nhuận trung bình, với ‘‘rủi ro’’, được đo bằng phương sai, thông qua bài toán tối ưu hóa

\[ \min _x x^T \Sigma x: \hat{r}^T x=\mu, \]

trong đó [latex]\mu[/latex] là mục tiêu của chúng ta cho lợi nhuận danh nghĩa. Vì [latex]\Sigma[/latex] là nửa xác định dương, tức là, nó có thể được viết dưới dạng [latex]\Sigma=A^T A[/latex] với [latex]A=\left[r_1-\hat{r}, \ldots, r_N-\hat{r}\right][/latex], bài toán trên là một bài toán bình phương tối thiểu có ràng buộc tuyến tính.

Mô hình ellipsoid

Để mô hình hóa sự bất định trong [latex]r[/latex], ta có thể sử dụng mô hình tất định sau. Ta giả định rằng véctơ thực [latex]r[/latex] nằm trong một ellipsoid [latex]\mathcal{E}[/latex] cho trước, nhưng ngoài ra thì không xác định. Ta mô tả [latex]\mathcal{E}[/latex] bằng tâm của nó và một ‘‘ma trận hình dạng’’ được xác định bởi một ma trận khả nghịch [latex]L[/latex] nào đó:

\[ \mathbf{E}:=\left\{r=\hat{r}+L u:\|u\|_2 \leq 1\right\} . \]

Ta quan sát thấy rằng nếu [latex]r \in \mathcal{E}[/latex], thì [latex]r^T x[/latex] sẽ nằm trong một khoảng [latex]\left[\alpha_{\min }, \alpha_{\max }\right][/latex], với

\[ \alpha_{\min }=\min _{r \in \mathbf{E}} r^T x, \alpha_{\max }=\max _{r \in \mathbf{E}} r^T x . \]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, cũng như dạng của [latex]\mathcal{E}[/latex] đã cho ở trên, ta thu được

\[ \alpha_{\max }=\hat{r}^T x+\max _{u:\|u\|_2 \leq 1} u^T\left(L^T x\right)=\hat{r}^T x+\left\|L^T x\right\|_2 . \]

Tương tự,

\[ \alpha_{\min }=\hat{r}^T x-\left\|L^T x\right\|_2 . \]

Đối với một véctơ danh mục [latex]x[/latex] cho trước, lợi nhuận thực [latex]r^T x[/latex] sẽ nằm trong một khoảng [latex]\left[\hat{r}^T x-\sigma(x), \hat{r}^T x+\sigma(x)\right][/latex], trong đó [latex]\hat{r}^T x[/latex] là lợi nhuận ‘‘danh nghĩa’’ của chúng ta, và [latex]\sigma(x)[/latex] là một thước đo của ‘‘rủi ro’’ trong lợi nhuận danh nghĩa:

\[ \sigma(x)=\left\|L^T x\right\|_2 . \]

Ta có thể phát biểu bài toán tối thiểu hóa rủi ro với ràng buộc về lợi nhuận danh nghĩa:

\[ \min _x x^T \Sigma x: \hat{r}^T x=\mu, \]

trong đó [latex]\mu[/latex] là mục tiêu của chúng ta cho lợi nhuận danh nghĩa, và [latex]\Sigma:=L L^T[/latex]. Đây lại là một bài toán bình phương tối thiểu có ràng buộc tuyến tính. Lưu ý rằng ta thu được một bài toán có dạng hoàn toàn giống với mô hình ngẫu nhiên đã thấy trước đó.