1
1.1. Định Nghĩa
Véctơ
Xét một tập hợp [latex]n[/latex] số thực, [latex]x_1, \cdots, x_n[/latex]. Chúng ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng [latex]n[/latex] vị trí trên một đường thẳng. Mặt khác, chúng ta có thể biểu diễn tập hợp này thành một điểm duy nhất trong không gian [latex]n[/latex] chiều. Đây là cách biểu diễn vector của tập hợp các số; mỗi số [latex]x_i[/latex] được gọi là một thành phần hoặc phần tử của vector.
Các vector có thể được sắp xếp thành một cột hoặc một hàng; chúng ta thường viết các vector ở dạng cột:
[latex]\begin{align*} x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} \end{align*}[/latex]
Ký hiệu [latex]\mathbb{R}^n[/latex] biểu thị tập hợp các vector thực có [latex]n[/latex] thành phần. Nếu [latex]x \in \mathbb{R}^n[/latex] biểu thị một véctơ, chúng ta sử dụng chỉ số dưới để biểu thị các thành phần, sao cho [latex]x_i[/latex] là thành phần thứ [latex]i[/latex] của [latex]x[/latex]. Đôi khi ký hiệu [latex]x(i)[/latex] được sử dụng để biểu thị thành phần thứ [latex]i[/latex].
 |
|
| Mỗi véctơ có thể biểu diễn thành một điểm [latex]x_i \in \mathbb{R}^n[/latex] trong không gian [latex]n[/latex] chiều. | |
| Ví dụ 1: Véctơ [latex]x=(2,1)[/latex] trong [latex]\mathbb{R}^2[/latex]. | |
Xem thêm:
Chuyển vị
Nếu [latex]x[/latex] là một vector cột, [latex]x^T[/latex] biểu thị vector hàng tương ứng, và ngược lại. Do đó, nếu [latex]x[/latex] là vector cột ở trên:
[latex]\begin{align*} x^T = (x_1 \cdots x_n) \end{align*}[/latex]
Đôi khi chúng ta sử dụng ký hiệu lỏng lẻo, nội tuyến [latex]x = (x_1, \cdots, x_n)[/latex], để biểu thị một vector hàng hoặc cột, hướng của vector được hiểu từ ngữ cảnh.
1.2. Tính độc lập tuyến tính
Một tập hợp các vector [latex]{x_1, x_2, \cdots, x_m}[/latex] trong [latex]\mathbb{R}^n[/latex] được gọi là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu điều kiện sau đây đối với một vector [latex]\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m) \in \mathbb{R}^m[/latex] được thỏa mãn:
[latex]\begin{align*} \sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i = 0 \end{align*}[/latex]
kéo theo [latex]\lambda_i = 0[/latex] với [latex]i = 1, 2, \cdots, m[/latex]. Điều này có nghĩa là không có vector nào trong tập hợp có thể được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các vector khác.
| Ví dụ 2: véctơ [latex]x_1 = [1, 2, 3][/latex] và [latex]x_2 = [3, 6, 9][/latex] không độc lập tuyến tính, do [latex]3x_1 - x_2 = 0[/latex]. |
1.3. Không gian con, tập sinh, tập afin
Một không gian con của [latex]\mathbb{R}^n[/latex] là một tập con đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng. Về mặt hình học, các không gian con là “phẳng” (giống như một đường thẳng hoặc mặt phẳng trong không gian 3D) và đi qua gốc tọa độ.
Một kết quả quan trọng của đại số tuyến tính, mà chúng ta sẽ chứng minh sau, nói rằng một không gian con [latex]{\bf S}[/latex] luôn có thể được biểu diễn như là không gian sinh bởi một tập các vector [latex]x_i \in \mathbb{R}^n[/latex], [latex]i = 1, \cdots, m[/latex], tức là, như một tập hợp có dạng
[latex]\begin{align*} {\bf S} = {\bf span}(x_1, \cdots, x_m):= \left{\sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i: \lambda \in \mathbb{R}^m\right} \end{align*}[/latex]
Một tập afin là một phép tịnh tiến của một không gian con — nó là “phẳng” nhưng không nhất thiết đi qua [latex]0[/latex], như một không gian con. (Ví dụ, hãy nghĩ đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ.) Vì vậy, một tập afin [latex]{\bf A}[/latex] luôn có thể được biểu diễn như là phép tịnh tiến của không gian con được sinh bởi một số vector:
[latex]\begin{align*} {\bf A} = \left{x_0 + \sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i: \lambda \in \mathbb{R}^m\right}, \end{align*}[/latex] với một số vector [latex]{x_0, x_1, x_2, \cdots, x_m}[/latex] trong đó [latex]x_0 \in \mathbb{R}^n[/latex]. Một cách ngắn gọn, chúng ta viết [latex]{\bf A} = x_0 + {\bf S}.[/latex]
 |
Ví dụ 3: |
| Trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex], không gian sinh [latex]{\bf S}[/latex] của hai vector [latex]\begin{align*} u &= \begin{bmatrix} -1 \ 2 \ 0.5 \end{bmatrix}, \quad v = \begin{bmatrix} 1 \ 3 \ 0.1 \end{bmatrix} \end{align*}[/latex] là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ được vẽ bằng màu xanh lam. |
|
Khi [latex]{\bf S}[/latex] là không gian sinh của một vector khác không duy nhất, tập [latex]{\bf A}[/latex] được gọi là một đường thẳng đi qua điểm [latex]x_0[/latex]. Như vậy, các đường thẳng có dạng
[latex]\begin{align*}{x_0 + tu : t\in \mathbb{R}}\end{align*}[/latex]
trong đó [latex]u[/latex] xác định hướng của đường thẳng, và [latex]x_0[/latex] là một điểm mà nó đi qua.
 |
Ví dụ 4: Một đường thẳng trong [latex]\mathbb{R}^2[/latex] đi qua điểm [latex]x_0 = (0,1)[/latex], với hướng [latex]u=(0.8944, 0.4472)[/latex]. |
1.4. Cơ sở và chiều
Cơ sở
Một cơ sở của [latex]\mathbb{R}^n[/latex] là một tập hợp gồm [latex]n[/latex] vector độc lập tuyến tính. Nếu các vector [latex]u_1, \cdots, u_n[/latex] tạo thành một cơ sở, chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ vector nào dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các [latex]u_i[/latex]:
[latex]\begin{align*} x = \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_i u_i \end{align*}[/latex]
với các số thích hợp [latex]\lambda_1, \cdots, \lambda_n[/latex].
Cơ sở chính tắc (hoặc cơ sở tự nhiên) trong [latex]\mathbb{R}^n[/latex] bao gồm các vector [latex]e_i[/latex], trong đó các thành phần của [latex]e_i[/latex] đều bằng không, ngoại trừ thành phần thứ [latex]i[/latex] bằng 1. Trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex], chúng ta có
[latex]\begin{align*} e_1 &:= \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, & e_2 &:= \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, & e_3 &:= \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \end{align*}[/latex]
| Ví dụ 5: Tập hợp ba vector trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex] : [latex]\begin{align*} x_1 &:= \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}, & x_2 &:= \begin{pmatrix} 4 \ 5 \ 6 \end{pmatrix}, & x_3 &:= \begin{pmatrix} 3 \ 3 \ 3 \end{pmatrix} \end{align*}[/latex] không độc lập tuyến tính, vì [latex]x_1-x_2+x_3=0[/latex], và không gian sinh của nó có chiều là [latex]2[/latex]. Vì [latex]x_1, x_2[/latex] độc lập tuyến tính (phương trình [latex]\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = 0[/latex] có [latex]\lambda = 0[/latex] là nghiệm duy nhất), một cơ sở cho không gian sinh đó, ví dụ, là [latex]{ x_1, x_2 }[/latex]. Ngược lại, tập hợp [latex]{ x_1, x_2, x_3 - e_1 }[/latex] sinh ra toàn bộ không gian [latex]\mathbb{R}^3[/latex], và do đó tạo thành một cơ sở của không gian đó. |
Cơ sở của một không gian con
Cơ sở của một không gian con [latex]{\bf S} \in \mathbb{R}^n[/latex] cho trước là bất kỳ tập hợp các vector độc lập tuyến tính nào mà không gian sinh của nó là [latex]{\bf S}[/latex]. Nếu các vector [latex]u_1, \cdots, u_r[/latex] tạo thành một cơ sở của [latex]{\bf S}[/latex], chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ vector nào dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các [latex]u_i[/latex]:
[latex]\begin{align*} x = \sum\limits_{i=1}^{r} \lambda_i u_i \end{align*}[/latex]
với các số thích hợp [latex]\lambda_1, \cdots, \lambda_r[/latex].
Số lượng vector trong cơ sở thực tế không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở (ví dụ, trong [latex]\mathbb{R}^3[/latex] bạn cần hai vector độc lập tuyến tính để mô tả một mặt phẳng chứa gốc tọa độ). Số này được gọi là chiều của [latex]{\bf S}[/latex]. Chúng ta cũng có thể định nghĩa chiều của một không gian con afin, là chiều của không gian con tuyến tính mà nó là một phép tịnh tiến.
Ví dụ:
- Chiều của một đường thẳng là 1 vì một đường thẳng có dạng [latex]x_0 + {\bf span}(x_1)[/latex] với một vector khác không [latex]x_1[/latex] nào đó.
- Chiều của một không gian con afin.
