29
29.1. Giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận đối xứng
Giả sử [latex]A[/latex] là một ma trận vuông, đối xứng, cỡ [latex]n \times n[/latex]. Một vô hướng thực [latex]\lambda[/latex] được gọi là một \textit{giá trị riêng} của [latex]A[/latex] nếu tồn tại một véctơ khác không [latex]u \in \mathbb{R}^n[/latex] sao cho
[latex]\begin{align*}Au = \lambda u.\end{align*}[/latex]
Véctơ [latex]u[/latex] khi đó được gọi là một \textit{véctơ riêng} tương ứng với giá trị riêng [latex]\lambda[/latex]. Véctơ riêng [latex]u[/latex] được gọi là \textit{được chuẩn hóa} nếu [latex]||u||_2=1[/latex]. Trong trường hợp này, ta có
[latex]\begin{align*}u^TAu = \lambda u^Tu = \lambda.\end{align*}[/latex]
Diễn giải của [latex]u[/latex] là nó xác định một phương mà dọc theo đó [latex]A[/latex] hoạt động tương tự như phép nhân vô hướng. Lượng co giãn được cho bởi [latex]\lambda[/latex]. (Trong tiếng Đức, gốc từ “eigen” có nghĩa là “tự thân” hoặc “riêng”). Các giá trị riêng của ma trận [latex]A[/latex] được đặc trưng bởi \textit{phương trình đặc trưng}
[latex]\begin{align*}\det(\lambda I - A) = 0,\end{align*}[/latex]
trong đó ký hiệu [latex]\det[/latex] đề cập đến \textit{định thức} của đối số ma trận của nó. Hàm số, được định nghĩa bởi [latex]t \rightarrow p(t): = \det(tI-A)[/latex], là một đa thức bậc [latex]n[/latex] được gọi là đa thức đặc trưng.
Từ định lý cơ bản của đại số, bất kỳ đa thức bậc [latex]n[/latex] nào cũng có [latex]n[/latex] nghiệm phức (có thể không phân biệt). Đối với ma trận đối xứng, các giá trị riêng là số thực, vì [latex]\lambda =u^TAu[/latex] khi [latex]A u =\lambda u[/latex], và [latex]u[/latex] được chuẩn hóa.
29.2. Định lý phổ
Một kết quả quan trọng của đại số tuyến tính được gọi là định lý phổ, hay định lý phân tích giá trị riêng đối xứng (SED), phát biểu rằng đối với bất kỳ ma trận đối xứng nào, có chính xác [latex]n[/latex] giá trị riêng (có thể không phân biệt), và tất cả chúng đều là số thực; hơn nữa, các véctơ riêng tương ứng có thể được chọn để tạo thành một cơ sở trực chuẩn. Kết quả này cung cấp một cách đơn giản để phân tích ma trận đối xứng thành tích của các phép biến đổi đơn giản.
Định lý: Phân tích giá trị riêng đối xứng
|
Ta có thể phân tích bất kỳ ma trận đối xứng nào [latex]A \in {\bf S}^n[/latex] bằng \textit{phân tích giá trị riêng đối xứng} (SED) [latex]\begin{align*}A=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i u_i u_i^T=U \Lambda U^T, \quad \Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\right).\end{align*}[/latex] trong đó ma trận [latex]U:=[u_1, \cdots, u_n][/latex] là ma trận trực giao (tức là, [latex]U^TU = UU^T = I_n[/latex]), và chứa các véctơ riêng của [latex]A[/latex], trong khi ma trận đường chéo [latex]\Lambda[/latex] chứa các giá trị riêng của [latex]A[/latex]. |
Xem chứng minh tại đây. SED cung cấp một phép phân tích ma trận dưới dạng đơn giản, cụ thể là các dyads.
Ta kiểm tra rằng trong SED ở trên, các vô hướng [latex]\lambda_i[/latex] là các giá trị riêng, và các véctơ [latex]u_i[/latex] là các véctơ riêng tương ứng, vì
[latex]\begin{align*}A u_j = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i u_i u_i^T u_j = \lambda_j u_j, \quad j = 1,\cdots,n.\end{align*}[/latex]
Phân tích giá trị riêng của một ma trận đối xứng có thể được tính toán hiệu quả bằng các phần mềm tiêu chuẩn, với thời gian tăng tỉ lệ với số chiều [latex]n[/latex] của nó theo [latex]n^3[/latex].
Ví dụ: Phân tích giá trị riêng của một ma trận đối xứng [latex]2 \times 2[/latex].
29.3. Thương Rayleigh
Với một ma trận đối xứng [latex]A[/latex], ta có thể biểu diễn các giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của [latex]A[/latex], ký hiệu tương ứng là [latex]\lambda_{\min}[/latex] và [latex]\lambda_{\max}[/latex], dưới dạng được gọi là dạng biến phân
[latex]\begin{align*}\lambda_{\min }(A)=\min _x\left\{x^T A x: x^T x=1\right\}, \quad \lambda_{\max }(A)=\max _x\left\{x^T A x: x^T x=1\right\}.\end{align*}[/latex]
Xem chứng minh tại đây.
Thuật ngữ “biến phân” đề cập đến thực tế là các giá trị riêng được cho dưới dạng các giá trị tối ưu của các bài toán tối ưu hóa, vốn được gọi trong quá khứ là các bài toán biến phân. Các biểu diễn biến phân tồn tại cho tất cả các giá trị riêng nhưng phức tạp hơn để phát biểu.
Diễn giải của các đẳng thức trên là các giá trị riêng lớn nhất và nhỏ nhất là một thước đo cho miền giá trị của hàm bậc hai [latex]x \rightarrow x^TAx[/latex] trên quả cầu đơn vị Euclid. Các đại lượng trên có thể được viết dưới dạng giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của cái gọi là \textit{thương Rayleigh} [latex]x^TAx/x^Tx[/latex].
David Hilbert đã đặt ra thuật ngữ “phổ” (spectrum) cho tập hợp các giá trị riêng của một toán tử đối xứng (gần như là một ma trận có số chiều vô hạn). Thực tế là đối với các ma trận đối xứng, mọi giá trị riêng đều nằm trong khoảng [latex][\lambda_{\min}, \lambda_{\max}][/latex] phần nào đó đã minh chứng cho thuật ngữ này.
